Antes de entrarmos, de fato, na Lei da Gravitação de Newton (1643 – 1727), devemos ter conhecimento das leis enunciadas por Johannes Kepler (1571 – 1630), baseadas nas observações de Tycho Brahe (1546 -1601), de quem Kepler era assistente. Estes enunciados são conhecidos como as Três Leis de Kepler. Numa aula futura, provaremos estas leis a partir do nosso conhecimento de gravitação newtoniana. No entanto, por agora, assim como fez Kepler, iremos apenas observar que estas leis são verdadeiras e que regem o movimento planetário.
Lei das Órbitas: as órbitas dos planetas são elipses.
Lei das Áreas: o vetor $$\vec{r}$$, que liga o Sol a um planeta qualquer, varre áreas iguais em tempos iguais.
Lei Harmônica: a razão entre o o cubo do semi-eixo maior de uma órbita e o quadrado do período da órbita é uma constante para todos os planetas.
Conhecidos os enunciados dessas leis, podemos partir para a gravitação de Newton.
A Lei da Gravitação de Newton explica, até certo ponto, a força de atração entre corpos dotados de massa.
A Força Gravitacional de Newton é descrita por:
$$\vec{F}=-G\frac{Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$$,
onde $$G$$ é a constante da Gravitação e $$\hat{r}$$ é o vetor unitário de $$\vec{r}$$. Note que o sentido de $$\vec{F}$$ é sempre oposto ao de $$\hat{r}$$.
Vamos provar essa relação para um sistema muito simplificado, onde a massa maior $$M$$ é estática e a órbita da massa $$m$$ é circular. Futuramente veremos que a força gravitacional newtoniana explica órbitas elípticas também!
A aceleração centrípeta se dá por:
$$\vec{a} = -{\mid \vec{\omega} \mid}^2 \mid \vec{r} \mid \hat{r}$$
$$\vec{a} = -4\pi^2\frac {\mid \vec{r} \mid}{P^2} \hat{r}$$
Usando a Lei Harmônica, a Segunda Lei de Newton e sabendo que o semi eixo maior de uma circunferência é o seu raio, temos:
$$\vec{F} = -4\pi^2 C \frac {m}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$$,
onde $$C$$ é a constante da Lei Harmônica, dada por $$\frac{{\mid \vec{r} \mid}^3}{P^2}$$.
Vemos que, escrita dessa forma, verifica-se imediatamente que a força gravitacional é proporcional à massa do corpo orbitante e inversamente proporcional ao quadrado da distância.
No entanto, dada a Terceira Lei de Newton, o corpo orbitante exerce uma força igual e contrária sobre o corpo fixo, logo a força gravitacional também deve ser proporcional à massa do corpo fixo.
Assim:
$$\vec{F} = -4\pi^2 C’ \frac {Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$$,
$$\vec{F}=-G\frac{Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$$,
onde $$G=4\pi^2 C’$$ é a constante gravitacional.
Bibliografia: NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica: Vol. 1. 4ª Edição – São Paulo: Edgard Blücher, 2002.