Um ponto Esperto na Bissetriz – Escrito por Samuel Prieto.
Geometria Olímpica pode ser considerada um aglomerado de teoremas, técnicas e Lemas importantes, aqui está um dos mais conhecidos:
Lemma: Seja $$ABC$$ um triângulo qualquer, $$I$$ seu incentro, e $$D,E,F$$ os pontos de contato do incirculo com $$BC,AC$$ e $$AB$$ respectivmente. Seja $$P=BI\cap EF$$, então P tem as seguintes propriedades:
(i)$$P$$ está na base média relativa a $$AB$$
(ii)$$<B \hat{P} C=90$$
Demonstração:
Sejam $$T=AC\cap IP$$, $$A\hat{B} I=I\hat{B} C =\beta,A \hat{C} I=I\hat{C} B =\gamma$$, sabemos que:
\[E\hat{P} I=B\hat{T}A-T\hat{E}P=\]
\[2\gamma+\beta-F\hat{E}A=\]
\[2\gamma+\beta-(\beta+\gamma)=\gamma\]
Logo, como $$E\hat{P}I=E\hat{C}I$$, o quadrilátero $$IEPC$$ é ciclico, logo $$B\hat{P}C=I\hat{P}C=I\hat{D}C=90$$, logo está provado (i). Agora seja $$M$$ o ponto médio de $$BC$$, , vamos ligar o segmento $$PM$$ e basta então provar que $$PM$$ é paralelo a $$AB$$, pois isso é suficiente para mostrar que é base média. Observe que, como $$M$$ é ponto médio do lado $$BC$$ do triângulo $$BCP$$, temos:
\[M\hat{P}B=M\hat{B}P=\beta\]
\[ \Rightarrow P\hat{M}C=M\hat{P}B+M\hat{B}P=2\beta=A\hat{B}C\]
Logo $$PM\parallel AB$$, e está demonstrado (ii).
Exercícios:
- Refaça todas marcações de angulo em sua própria figura (NO PAPEL), e faça questão de ter entendido, lembre-se que como este não é um teorema famos, você vai precisar demonstrá-lo na hora da prova :).