Escrito por Samuel Prieto
Um truque em Somas Telescópicas
Somas telescópicas são uma parte fundamental no estudo de sequências, funções geratrizes e até teoria dos números, por isso apresentamos alguns resultados úteis antes do personagem principal deste artigo:
Resultados importantes:
- \[\sum_{i=1}^{n} i = 1+2+3+4+…+n = \frac{(n)(n+1)}{2}\]
- \[\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2+2^2+3^2+…+n^2 = \frac{(2n-1)(n-1)(n)}{6}\]
- \[\sum_{i=0}^{n}x^i = 1+x+x^2+…+x^{n-1}+x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\]
A Demonstração é deixada como exercício para o leitor, visto que I e II são facilmente demonstrados com indução e III é obtido apenas com manipulação algébrica.Vamos então para o principal truque deste Artigo:
Exemplo 1: (a) Compute o valor de:
\[\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2+n}\]
(b)Compute o valor de:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}\]
Solução: Temos um problema em que há um polinômio no denominador de uma fração. Em casos como esse é sempre uma boa idéia seria fatorar esse polinômio como o produto de suas raízes, e neste exemplo é conhecido o fato de que as raízes de $$n^2+n$$ são $$0$$ e $$-1$$. Temos então:
\[ \frac{1}{n^2+n}= \frac{1}{(n)(n+1)} \]
Podemos separar $$\frac{1}{(n)(n+1)}$$ como $$ \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} $$, para alguns A, B. Vamos encontrar A e B então:
\[\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} = \frac{A(n+1) + B(n)}{(n+1)(n)} =\frac{n(A+B) + 1(A)}{(n)(n+1)}.\]
Como queremos:
\[\frac{1}{(n)(n+1)}=\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}=\frac{n(A+B) + 1(A)}{(n)(n+1)}\]
Devemos ter:
\[n(A+B) + 1(A) = 1\]
Logo:
\[A+B=0\]
\[A=1\]
Resolvendo o sistema encontramos $$A=1, B=-1$$, logo:
\[\frac{1}{(n)(n+1)}=\frac{1}{n} +\frac{(-1)}{n+1}=\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\]
\[\Rightarrow \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2+n} = \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n} – \frac{(1)}{n+1}) = \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n}) – \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n+1}) =\sum_{n=1}^m (\frac{1}{n}) -\sum_{n=2}^{m+1} (\frac{1}{n})=\]
\[(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ …\frac{1}{n})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ …\frac{1}{m+1})=\frac{1}{1} – \frac{1}{m+1}\]
E encontramos nossa resposta para a letra (a). Para a letra (b) basta:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{1}{\infty +1} = 1-0 = 1 \]
Exemplo 2: Compute:
\[S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n+32}{n^2+2n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\]
Solução: Usando o método descrito, vamos separar a fração em duas, e depois o resultado segue de manipulação algébrica
\[\frac{7n+32}{n^2+2n}=\frac{16}{n} – \frac{9}{n+2}\]
\[\Rightarrow S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n+32}{n^2+2n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} – \frac{9}{n+2} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right) – \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot\ \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)= \]
Observe que:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{9}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n-2}\right) = \sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{9}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \cdot \left(\frac{3}{4} \right)^{-2} \right) =\sum_{n=3}^{\infty} \left( \frac{9}{n} \cdot \left(\frac{16}{9} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \right)=\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \right)\]
Logo:
\[S=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right) – \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot\ \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)-\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\frac{16}{1}\cdot (\frac{3}{4})^1+\frac{16}{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2= 12+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}.\]
Exercícios:
- Prove os resultados (I),(II),e (III), apresentados no começo deste artigo.
- Compute : $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i}$$
- Compute : $$\sum_{i=1}^n \ln \left(\frac{i+2}{i}\right)$$