Escrito por Samuel Prieto
Somatórios e produtórios (mod p)
Vários resultados não triviais podem ser provados com métodos simples de manipulação de somas e produtos, e alguns destes serão apresentados nesse artigo.
Exemplo 1: (Teorema de Wilson)Seja $$p \ge 5$$ primo. Prove que :
\[S= \prod_{i=1}^{p-1} i \equiv (-1) \pmod p\]
Solução: Um truque muito útil em questões como estas é usar o fato de que cada número em $$\{ 1,2,\dots,p-1\}$$tem um inverso multiplicativo $$\pmod p $$, ou seja:
\[ \forall 1 \leq i \leq p-1, \exists i^{-1} \backslash \text{ } i \cdot i^{-1} \equiv 1 \pmod p \]
Sabemos que o inverso de $$1$$ é $$1$$ e o inverso de $$-1$$ é $$-1$$. Já para todos outros $$2 \leq i \leq p-2$$, o inverso de $$i$$ deve ser diferente de $$i$$, logo podemos agrupar todos $$2\cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots p-2 $$ com seu inverso multiplicativo, logo:
\[S’= \prod_{i=2}^{p-2} i = 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-2) \equiv 1 \pmod p\]
\[\Rightarrow S = S’\cdot 1\cdot (-1) \equiv (-1) \pmod p \]
Como queriamos demonstrar.
Exemplo 2: (Teorema de Fermat) Seja um número primo $$p$$ e $$a$$ um inteiro tal que $$p\nmid a$$. Logo:
\[a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \]
Demonstração: Sejm $$S=\{1,2,\dots ,p-1 \}$$ e $$S’=\{1\cdot a,2\cdot a, \dots, (p-1)\cdot a \}$$. Como $$i\equiv j \pmod p\iff a\cdot i \equiv a\cdot j \pmod p$$ ,fica claro que $$ S\equiv S’$$, logo:
\[\prod_{x\in S} x \equiv \prod_{x\in S’} x \pmod p\Rightarrow (p-1)! \equiv a^{p-1} \cdot (p-1)! \pmod p\Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\]
E está completa a demontração.
Exercícios:
1.Prove que para $$p\ge 5$$, primo:
- \[p\mid \sum_{i=1}^{p-1} i\]
- \[p\mid \sum_{i=1}^{p-1} i^2\]
2. (Teorema de Wholstenholme) Seja $$p \ge 5$$ primo, prove que $$p^2$$ divide o numerador de:
\[\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} = 1+\frac 12 +\frac 13 +\dots \frac{1}{p-1} \]
3.(**)Demonstre que se $$p \ge 3$$ primo, então :
\[p^3\mid \binom{2p}{p}-2\]
(Se quer uma dica nesse, veja nosso artigo sobre Identidade de Vandermonde)