Escrita por Brendon Borck:
Um truque bastante conhecido em geometria e utilizado imensamente em problemas de qualquer nível é o Lema da Ceviana Qualquer. Como por sua definição ele não é um teorema é importante ressaltar que é necessária sua prova para uso, por mais que alguns corretores consideram desnecessário, sempre é bom pelo menos rabiscar a ideia de solução para atestar que você sabe o que está fazendo.
(L.C.Q.) Dado um triângulo $$ABC$$ e uma ceviana $$AP$$, onde $$P$$ está sobre o lado $$BC$$, então a seguinte relação sempre é verdade:
$$\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB \cdot \sin{B\hat{A}P}}{AC \cdot \sin{C\hat{A}P}}$$
Prova:
A prova do Lema da Ceviana Qualquer é simples e consiste em duas leis dos senos, a primeira no triângulo $$BAP$$:
$$\dfrac{BP}{\sin{B\hat{A}P}} = \dfrac{AB}{\sin{B\hat{P}A}}$$
A segunda no triângulo $$CAP$$:
$$\dfrac{CP}{\sin{C\hat{A}P}} = \dfrac{AC}{\sin{C\hat{P}A}}$$
Note que $$\sin{B\hat{P}A} = \sin{C\hat{P}A}$$ já que os ângulos são suplementares. Logo:
$$\sin{C\hat{P}A} = \dfrac{AC\cdot \sin{C\hat{A}P}}{CP} = \sin{B\hat{P}A} = \dfrac{AB\cdot \sin{B\hat{A}P} }{BP} $$
$$\dfrac{AC\cdot \sin{C\hat{A}P}}{CP} = \dfrac{AB\cdot \sin{B\hat{A}P}}{BP} $$
$$\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB \cdot \sin{B\hat{A}P}}{AC \cdot \sin{C\hat{A}P}}$$
Como queríamos demonstrar!
Problemas relacionados:
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- (Cone Sul/2011) Seja $$ABC$$ um triângulo e $$D$$ um ponto sobre o lado $$AC$$. Se $$\angle{CBD} – \angle{ABD} = 60^{o}, \angle{BDC} = 30^{o}$$ e, além disso, $$AB \cdot BC = BD^2$$, encontre as medidas dos ângulos do triângulo $$ABC$$.
- Problema $$3$$ da OCM de $$2016$$ (utilize nosso lema apenas como uma ferramenta).
Obs: (Ceva) Dado um triângulo $$ABC$$, construa as cevianas $$AD$$, $$BE$$ e $$CF$$, a partir disso é possível afirmar que elas se encontram num ponto $$P$$ se, e somente se:
$$\dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} = 1$$
(Ceva trigonométrico) Dadas as mesmas condições anteriores:
$$\dfrac{\angle{B\hat{A}P}}{\angle{C\hat{A}P}} \cdot \dfrac{\angle{A\hat{C}P}}{\angle{B\hat{C}P}} \cdot \dfrac{\angle{C\hat{B}P}}{\angle{A\hat{B}P}} = 1$$