Lista Gama - Barra 2021

Uma contribuição de: Fabrizio Melges (1, 2, 3, 4), Luan de Souza (5, 6), Ian Seo Takose (7) e Bruno Makoto (8, 9, 10)

Se você resolver um dos problemas e tiver interesse em ter sua solução no site, mande uma foto (de preferência escaneada) da resolução para qualquer um dos membros acima.

Lista $\gamma$

Tempo Sugerido: 4h. Faça o máximo de questões que puder, lembrando da quantidade de pontos por cada problema.

Você pode utilizar a tabela de constantes

Problema 1 (6)

O problema dos monopolos magnéticos—isto é, a  aparente ausência de monopolos magnéticos no universo—vem do fato de que algumas teorias físicas modernas (como a teoria das supercordas) preverem que a densidade numérica de monopolos magnéticos na época de sua criação ser ${n}_{M}({t}_{\text{GUT}})\approx {10}^{82}\ {\text{m}}^{-3}$. A teoria da Inflação oferece uma possível solução para este problema, já que a expansão exponencial do universo primordial “diluiria” os monopolos. Calcule o quanto o Universo se expandiu durante o período de inflação para que hoje a probabilidade de existir um único monopolo magnético no universo observacional seja 1%.

Dados:

• Considere que o início da Inflação coincida com a época de criação dos monopolos magnéticos.
• Considere que o Universo seja plano (Geometria Euclidiana pode ser utilizada em grandes escalas).
• Diâmetro do universo observacional: $28.5\ \text{Gpc}$.
• Considere que entre o final da inflação e hoje, o Universo tenha se expandido em um fator de $5\times{10}^{26}$.

Problema 2 (8)

Uma hipótese que já foi usada para explicar a lei de Hubble é a Hipótese da luz cansada. Esta hipótese afirma que o universo não está se expandindo, mas que os fótons perdem energia conforme eles se movem pelo espaço, sendo que perda de energia por unidade de distância é dada por:

$\frac{dE}{dr}=-kE$

Onde $k$ é uma constante. Mostre que esta hipótese implica em uma relação distancia-redshift que é linear para $z\ll 1$. Qual deve ser o valor de $k$ para produzir ${H}_{0}=68 \text{km}\ {\text{s}}^{-1}\ {\text{Mpc}}^{-1}$?

Use se necessário:

$\int \frac{1}{x}\ dx=\ln{x}+C$

$\ln{(1+x)}\approx x\quad \text{, se}\ x\ll 1$

Problema 3 (8)

O vetor posição e velocidade de um satélite em um dado instante são dados, respectivamente, por:

$\vec{r}=(3, 0, 0.5)\ {R}_{\oplus}$

$\vec{v}=(0, 4000, 1200)\ \text{m/s}$

Sendo que o sistema (não rotacional) de coordenadas geocêntricas foi utilizado. Calcule o momento angular específico e a energia mecânica específica do satélite. Qual é a inclinação da órbita?

Problema 4 (10)

O BMEWS (Ballistic Missile Early Warning System) detecta um objeto não identificado com os seguintes parâmetros:

$H=0.5{R}_{\oplus}$

$v=658\ \text{m/s}$

$\gamma={60}^{\circ}$

Sendo $H$ a altitude, $v$ a velocidade, e $\gamma$ o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade do objeto. É possível que o objeto seja uma sonda espacial escapando da Terra, um satélite Terrestre ou um míssil balístico?

Problema 5 (10)

Jan Rojão  é um jovem que vive no Planeta Vreno Chatão, que orbita o centro de massa do sistema binário Ian Balão. Neste sistema também existe outro planeta: Mokota. Jan, curioso como é, deseja conhecer algumas propriedades do sistema Ian Balão, e para isso conta com sua ajuda para resolver os seguintes Itens. Faça as considerações que julgar necessárias.

a) A massa total do sistema;

b) A velocidade orbital de Mokota no Semi lactus rectum.

c) A distância entre as componentes do sistema
(O ano em Vreno Chatão dura cerca de 600 dias terrestres, sua distância ao CM do sistema é de 5UA, possuindo órbita circular, e as distâncias periélicas e afélicas de Mokota são de 6 e 12 UA, respectivamente. O período do sistema binário é de 300 dias.)

Problema 6 (10)

Otávrio é um engenheiro aeroespacial da PEV (Programa Espacial Virgilius) e está projetando uma viagem a Ceres, um planeta anão localizado no Cinturão de Asteróides. Para isso, ele precisa verificar os seguintes itens:

a) Considerando que deseja-se faz a viagem com o menor gasto de energia possível, qual o $\Delta v$ necessário para fazer a viagem? A Nave está inicialmente orbitando a Terra a uma altitude de 300km.

b) Sabendo que a velocidade em função da massa de um foguete é dada por

$v_f = v_0 + v_e\ln{\left(\dfrac{m_0}{m_f}\right)}$

Onde $v_f$ é a velocidade final, $v_0$ a velocidade inicial, $v_e$ a velocidade com que o jato de matéria sai do motor, $m_0$ a massa inicial e $m_f$ é a massa final. Encontre a razão $\dfrac{m_f}{m_0}$ da nave após o impulso.

(Considere que o impulso foi instantâneo e que a velocidade do jato de matéria é de $2km/s$)

c) Por fim, calcule o tempo de viagem.

(Considere que a Terra e que Ceres possuem órbitas circulares, e que Ceres está a uma distância de 3UA do Sol. Despreze o fato de que a nave deverá sair do campo gravitacional da Terra.)

Problema 7 (10)

Entediado por ter escolhido passar as férias no Polo Norte, João Rolom decidiu construir um foguetinho, só de zoas. Após terminar, decidiu nomear seu foguete de Gabriel, por ter muitos colegas astrônomos com esse mesmo nome. Orgulhoso de sua obra, João foi dormir tranquilamente. Infelizmente, durante a noite, um pinguim furtivo mexeu nos controles e acabou disparando o foguete para o Polo Sul. Assustado com o barulho, Rolom rapidamente acordou, entretanto, já era tarde demais e não conseguiu cancelar o lançamento. Felizmente, graças a sua sagacidade, o garoto conseguiu conseguiu medir a velocidade $v_0$ com a qual Gabriel partiu. Com isso, ligou para sua amiga Isabela Grega (sim, ela mora no Polo Sul ¯\_(ツ)_/¯) e falou para ela preparar para o pouso do foguete. Para que ela possa se planejar de maneira apropriada, eles precisam saber o tempo de voo. Ajude-os a calculá-lo!

Considere que $v_0=2200\,m/s$ e que estamos em uma realidade alternativa, em que o nosso planeta se chama AquaLuan, tem raio $r_0=1,7\cdot 10^6\,m$ e massa $M=7,4\cdot 10^{22}\,kg$. Além disso, sabe-se que a área $A$ descrita por uma curva do tipo $r(\theta)$ pode ser calculada como $A=\displaystyle \int\limits_{\theta_i}^{\theta_f} \dfrac{r_{(\theta)}^2}{2} d\theta$, onde $\theta_i$ e $\theta_f$ são os ângulos iniciais e finais da curva que você está pegando. Por fim, é dado que:

$\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\theta}{(1+0,8167\cos{(\theta)})^2}\approx 1,49707$

Problema 8 (10)

Após ganhar um novo telescópio, Mr. P analisa algumas propriedades de um sistema binário de estrelas através da espectroscopia da linha de absorção do sódio (D1, comprimento de onda de repouso $5895,5A^{\circ}$(Angstrom)). Devido ao movimento relativo das estrelas com relação à Terra, os comprimentos de ondas observados sofrem redshift e ficam alterados. Considere que a velocidade radial do centro de massa das estrelas é muito menor que suas velocidades orbitais. Veja os dados coletados para o comprimento de onda do espectro de absorção da linha Sódio-D1:

Usando as informações da tabela, determine os valores encontrados por Mr. P para:

a) As velocidades $v_1$ e $v_2$ de cada estrela.

b) A razão entre as massas das estrelas, $\frac{m_1}{m_2}$, e a razão entre os raios de suas órbitas, $\frac{r_1}{r_2}$.

c) A distância $r$ entre as estrelas.

d) As massas individuais de cada estrela, $m_1$ e $m_2$.

Para todos os casos, considere que o sistema é "edge-on" com a Terra, ou seja, $i=90^{\circ}$ e vemos somente a "quina" do plano formado pelas estrelas

Problema 9 (12)

Há 65 milhões de anos, um grande asteroide de densidade $\rho=3.0 \cdot 10^{3}kg\,m^{-3}$ e raio $r=5.0\,km$ atingiu a Terra, exterminando boa parte da vida terrestre e formando a cratera de Chicxulub. Infelizmente, cientistas da SpaceX detectaram um asteroide com características semelhantes ao asteroide já mencionado vindo na direção da Terra. Além disso, dados mostraram que o asteroide está a uma distância muito maior que o raio da Terra com velocidade $v_0=2,2\cdot 10^{4}m\,s^{-1}$. Assuma que a colisão do asteroide com a Terra é inelástica (ou seja, o asteroide é "anexado" à Terra), que o momento de esfera da Terra é $0,83$ vezes o momento de inércia de uma esfera homogênea de mesma massa e raio (ou seja, $I=\dfrac{2}{5}MR^2$), e que podemos desprezar a atração gravitacional de qualquer corpo além da Terra no asteroide e mudanças na órbita da Terra. Sendo assim, calcule:

a) A velocidade do asteroide no instante de impacto com a Terra.

b) A variação do período de rotação da Terra após o impacto, considerando que o asteroide colidiu radialmente no Equador.

c) A variação do período de rotação da Terra após o impacto, considerando que o asteroide colodiu tangencialmente no Equador.

Dica: torque é variação temporal do momento angular; momento angular é $\vec{L}=I\vec{\omega}$, onde $I$ é o momento de inércia; para partícular puntiformes, pode-se usar $\vec{L}=m\vec{r} \times \vec{v}$

Problema 10 (12)

Após ficar bravo por nenhuma questão de mecânica celeste ter caído na GeCAA, mesmo com o organizador do round teórico sendo filho do grandíssimo Jaan Kalda, um estudante brasileiro resolve escapar da Terra a fim de ficar tranquilo em sua nave de férias. Entretanto, ele não contava com o poder da família Kalda, que possui em seu arsenal uma arma poderosa que atira pedras com velocidade inicial $v_0$ e com um ângulo de lançamento qualquer. Ajude o estudante a ficar fora do alcance da arma! Considere somente a atração gravitacional da Terra, que possui massa $M$, que a órbita da pedra é necessariamente fechada e que toda a massa da Terra está contida em seu centro. O ponto de partida $P$ está a uma distância $R$ do centro da Terra $S$

a) Calcule o semieixo maior da órbita da pedra, assim como o seu período, para um ângulo de lançamento qualquer.

b) Sabemos que toda órbita fechada tem o formato de uma elipse, que possui um dos focos em $S$. Encontre o lugar geométrico dos pontos que o foco secundário $F$ da elipse pode estar, assim como suas dimensões.

c) Sendo $Q$ um ponto pertence à órbita da pedra tal que sua distância até o centro da Terra $|SQ|=r$, determine o valor da distância $|QF|$

d) Assim como a posição do ponto $Q$, a distância $|PQ|$ depende do ângulo de lançamento. Encontre o valor máximo para $|PQ|$ em função das variáveis $a, R$ e $r$

e) Qual o contorno dos pontos aos quais $Q$ pode assumir, variando livremente $r$ e o ângulo de lançamento? Quais as dimensões dessa região e como ela ajuda o estudante brasileiro?