Por Fabrizio Ferro
Na física o conceito fundamental é o evento. A colisão de duas partículas é um evento, a emissão de um fóton é um evento. Como vimos na seção anterior, qualquer par de referenciais inerciais, independente da velocidade relativa entre eles, concordam sobre o intervalo entre qualquer par de eventos. Resumindo, podemos descrever e localizar eventos sem o uso de sistemas de referência. Entretanto, humanos gostam de estabelecer sistemas de referências, pois eles são úteis para nossas necessidades práticas.
O esquema de transformações das coordenadas de um evento em um referencial inercial para outro é geralmente chamado de “Transformações de Lorentz”. Sua utilidade depende da aplicação e do usuário. Alguns raramente usam, pois sempre lidam com intervalos. Outros sempre usam, pois sempre lidam com referenciais. De qualquer forma, a transformação de Lorentz é uma ferramenta poderosa: ela traz a habilidade de transformar coordenadas de referencial para referencial, ajudam a prever a adição de velocidades e descrevem o efeito Doppler.
Transformações de Lorentz
Assim como na seção anterior, vamos considerar dois referenciais $$\mathcal{K}$$ e $$\mathcal{K’}$$ movendo com velocidade relativa constante. Os eixos das coordenadas espaciais foram escolhidos de forma com que os eixos $$X$$ e $$X’$$ coincidam, e os eixos $$Y$$ e $$Z$$ sejam paralelos aos eixos $$Y’$$ e $$Z’$$ respectivamente. Para simplificar, vamos considerar que o movimento relativo se dá no eixo $$X$$ (a escolha do eixo não irá interferir na análise nem no resultado), com velocidade relativa $$V$$. Como o movimento se dá no eixo $$X$$, as coordenadas transversais a direção do movimento relativo (i.e. $$y$$ e $$z$$) são as mesmas em ambos os referenciais, ou seja:
$$y=y’$$
$$z=z’$$
Vamos também considerar dois eventos que ocorrem na origem do sistema de referência $$\mathcal{K’}$$ (i.e. $$l’=x’=0$$) separados por um tempo $$t’$$. No sistema de referência $$\mathcal{K}$$, a separação espacial entre os eventos é:
$$l=x=Vt$$ (1)
Da invariância do intervalo, temos:
$$s=s’$$
$${c}^{2}{t}^{2}-{l}^2={c}^{2}{t’}^{2}-{l’}^2$$
$${c}^{2}{t}^{2}-{V}^{2}{t}^{2}={c}^{2}{t’}^{2}$$
$$t=\frac{t’}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$$ (para $$x’=0$$)
Introduzindo o fator $$\gamma$$:
$$t=\gamma t’$$ (para $$x’=0$$) (2)
Substituindo na equação (1), temos:
$$x=V\gamma t’$$ (para $$x’=0$$) (3)
Para obtermos transformações genéricas para qualquer $$x’$$, teremos que descobrir a forma geral da Transformação de Lorentz. Será deixado como um exercício para o leitor provar que a Transformação de Lorentz é linear, e segue a forma:
$$t=Bx’+Dt’$$ (4)
$$x=Gx’+Ht’$$ (5)
Comparando as equações (2) e (3) com (4) e (5) podemos perceber que:
$$D=\gamma$$
$$H=V\gamma$$
Logo:
$$t=Bx’+\gamma t’$$
$$x=Gx’+V\gamma t’$$
Novamente utilizando a invariância do intervalo, temos:
$${c}^{2}{t}^{2}-{x}^2={c}^{2}{t’}^{2}-{x’}^2$$
$${c}^{2}({Bx’+\gamma t’})^{2}-(Gx’+V\gamma t’)^2={c}^{2}{t’}^{2}-{x’}^2$$
Expandindo e agrupando:
$${\gamma}^{2}(c^2-V^2){t’}^{2}+2\gamma (cB-VG)x’t’-(G^2-{c}^{2}B^2){x’}^{2}={c}^{2}{t’}^{2}-{x’}^2$$ (6)
Mas é impossível satisfazer a equação acima com valores únicos de $$B$$ e $$G$$ a não ser que o termo que contém $$x’t’$$ desapareça, ou seja:
$$B=\frac{V}{c}G$$ (7)
Além disso, $$B$$ e $$G$$ devem fazer com que o coeficiente $$x’$$ seja igual nos dois lados da equação (6), consequentemente:
$$G^2-{c}^{2}B^2=1$$ (8)
Substituindo (7) em (8):
$$G=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}$$
Com $$G$$, podemos obter $$B$$ e, consequentemente, a expressão final da Transformação de Lorentz.
$$t=\gamma (t’+\frac{V}{c^2}x’)$$ (9)
$$x=\gamma (x’+Vt’)$$
$$y=y’$$
$$z=z’$$
É interessante notar que no limite $$c \rightarrow \infty$$ a transformação de Lorentz se reduz a transformação Galileana.
Transformação de Velocidades
Na subseção anterior, descobrimo as fórmulas que relacionam as coordenadas de um eventos em diferentes sistemas de referência. Agora, vamos descobrir a fórmula que relaciona a velocidade de uma partícula em um sistema de referência com a sua velocidade em outro sistema de referência. Vamos considerar, novamente, dois referenciais $$\mathcal{K}$$ e $$\mathcal{K’}$$ se movimentando com velocidade relativa $$V$$, no eixo $$X$$. De (9), temos:
$$dt=\gamma (dt’+\frac{V}{c^2}dx’)$$ (10)
$$dx=\gamma (dx’+V\ dt’)$$
Dividindo a segunda pela primeira equação:
$$\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx’}{dt’}+V}{1+\frac{dx’}{dt’}\frac{V}{c^2}}$$
Sendo que $$\frac{dx}{dt}$$ é a velocidade da partícula no referencial $$\mathcal{K}$$, e $$\frac{dx’}{dt’}$$ é a velocidade da partícula no referencial $$\mathcal{K’}$$. Podemos adotar $$v=\frac{dx}{dt}$$ e $$v’=\frac{dx’}{dt’}$$, obtendo:
$$\boxed{v=\frac{v’+V}{1+v’\frac{V}{c^2}}}$$ (11)
Vale notar que no limite $$c \rightarrow \infty$$ a equação acima se reduz a $$v=v’+V$$, de acordo com o limite clássico. Além disso, para qualquer valor de $$V$$, se $$v’=c$$ então $$v=c$$.