Por Tiago Lucio
Deslocamento de Linhas Espectrais
Na astronomia, o efeito Doppler pode ser visto em espectros estelares, em que as linhas espectrais são frequentemente deslocadas para o azul (blueshift), ocorrendo uma diminuição no comprimento de onda, ou para o vermelho (redshift), ocorrendo um aumento no comprimento de onda. Um blueshift significa que a estrela está se aproximando, enquanto um redshift indica que ela está se afastando.
Na imagem acima é possível perceber que as linhas de absorção são deslocadas para a direita (aumento de comprimento de onda) no redshift e são deslocadas para a esquerda (diminuição do comprimento de onda) no blueshift. Isso se deve ao fato de que o redshift $$z$$ de um espectro pode ser definido em função dessa variação do comprimento de onda, $$\Delta \lambda$$, e do comprimento de onda emitido, $$\lambda_0$$, por:
$$z \equiv \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{\lambda – \lambda_0}{\lambda_0} \Longrightarrow \boxed{ z = \dfrac{\lambda}{\lambda_0} – 1}$$
Tipos de Redshift
- Efeito Doppler
O redshift ou blueshift é causado pela velocidade radial (velocidade relativa de recessão) da estrela e pode ser aproximado por:
$$z \approx \dfrac{v_r}{c},\quad$$ para $$\quad z<0,1$$
$$\boxed{v_r = c\cdot \left(\dfrac{\lambda}{\lambda_0} – 1\right)}$$
[spoiler title=’Dedução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para velocidades não relativísticas ($$v \ll c$$), podemos aproximar a variação do comprimento de onda da radiação pela distancia percorrida pela estrela no período necessário para a onda completar uma oscilação completa, $$T$$, como pode ser notado na imagem abaixo:
$$\lambda_0 = c\cdot T\quad $$ e $$\quad\Delta \lambda = v_r\cdot T$$
$$z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v_r\cdot T}{c\cdot T}\Longrightarrow z = \dfrac{v_r}{c}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Redshift pela Variação da frequência’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Em alguns exercícios é dado a variação da frequência $$\Delta \nu$$ e a frequência emitida pela fonte $$\nu_0$$, para calcular a velocidade radial ou o redshift utilizando esses valores:
$$c = \nu \cdot \lambda \Longrightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda}$$
$$z = \dfrac{v_r}{c} = \dfrac{\nu_0-\nu}{\nu} \Longrightarrow \boxed{v_r = c\cdot \left(\dfrac{\nu_0}{\nu}-1\right)}$$
[/spoiler]
Logo, para velocidades radiais positivas (fonte se afastando), ocorre o redshift ($$z>0$$ e $$\Delta \lambda > 0$$) e para velocidades radiais negativas (fonte se aproximando), ocorre o blueshift ($$z<0$$ e $$\Delta \lambda < 0$$).
[spoiler title=’Efeito Doppler Relativístico’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para velocidades mais próximas da velocidade da luz, é necessário utilizar a seguinte fórmula para calcular o redshift:
$$\boxed{1+z=\sqrt{\dfrac{1+\frac{v_r}{c}}{1-\frac{v_r}{c}}}}$$
Reorganizando a equação, obtemos:
$$v_r = c\cdot \dfrac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}$$
[/spoiler]
- Redshift Cosmológico
O comprimento de onda dos fótons emitidos por galáxias muito distantes é alongado a medida que ele viaja através do espaço em expansão. Veremos mais sobre esse redshift mais para a frente.
Obs.: nesse caso a fonte está em repouso, o redshift é dado somente por causa da expansão do universo.
- Redshift Gravitacional
Esse redshift ocorre pela distorção do espaço-tempo próximo a campos gravitacionais muito intensos, alterando, assim, o comprimento de onda dos fótons. Não vamos entrar em detalhes de como calcular esse redshift, pois essa matéria somente é necessária para a seletiva de Vinhedo.
Lei de Hubble
Em 1923, o astrônomo Edwin Hubble, ao analisar o espectro de várias galáxias, percebeu que eles estavam desviados para o vermelho (redshift cosmológico) e que, consequentemente, as galáxias estavam se afastando de nós, com exceção das mais próximas da Via Láctea, que estão sendo atraídas gravitacionalmente. Além disso, ao medir as distâncias e as velocidades radiais (velocidade de recessão) de cada galáxia, ele notou experimentalmente que esses valores estavam relacionados linearmente, formulando assim a Lei de Hubble:
$$v_r = H_0 \cdot d$$
Onde $$H_0$$ é a constante de Hubble, que vale aproximadamente $$67,8 \ \frac{{km/s}}{Mpc}$$ ($$1\ Mpc = 10^6 pc$$). Assim, quanto mais distante uma galáxia está, mais rapidamente ela está se afastando de nós. Essa relação pode ser facilmente observada no gráfico a seguir:
Além disso, podemos utilizar as mesmas fórmulas do Efeito Doppler para calcular o redshift gravitacional, onde $$v_r$$ é a velocidade radial das galáxias devido a expansão do universo, portanto, para velocidades não relativísticas:
$$\boxed{z = \dfrac{H_0}{c}\cdot d}$$
Observações
- Preste muita atenção na unidade da Constante de Hubble. A distancia, $$d$$, deve ser utilizada em $$Mpc$$ para obter a velocidade radial $$v_r$$ em $$km/s$$.
- Muitas galáxias possuem redshifts maiores que 1 e isso não vai implicar em velocidades radiais maiores que a velocidade da luz, pois, para esses redshifts, a velocidade radial deve ser calculada utilizando a fórmula de redshift relativístico. O maior redshift conhecido é o do quasar ULAS J$$1342+0928$$ com $$z = 7,54$$.
- A Lei de Hubble só é válida para distâncias muito grandes (na ordem de $$100 Mpc$$), pois para distâncias menores, a força gravitacional supera a expansão do universo. Já o Efeito Doppler é sempre válido, desde que utilize a equação relativística ou a aproximação $$z \approx \frac{v_r}{c}$$ para $$v \ll c$$.
Exercício Desafio
- Calcule a qual distância o quasar ULAS J$$1342+0928$$ está de nós.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Utilize a Fórmula do Redshift relativístico para encontrar a velocidade radial do quasar e, com a Lei de Hubble, estime a sua distância (ly é a unidade para anos-luz):
$$\boxed{d \approx 4,31 \ Gpc \approx 14,0\cdot 10^9\ ly}$$
[/spoiler]