Escrita Bismarck Moreira
- Definição
Albedo é definido como o poder que um corpo tem de refletir a luz incidente na sua superfície, varia de $$0$$ até $$1$$ e normalmente é expresso em porcentagem. Ou seja, é ditado pela razão entre a radiação refletida e incidente.
Matematicamente falando, tem-se:
$$\alpha =\frac{R_{r}}{R_{i}}$$
- Exemplos em Astronomia
Energia refletida pela Terra
O fluxo de energia que chega no planeta proveniente do Sol é:
$$F=\frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$$
Então sua radiação refletida, pela definição de albedo será:
$$\alpha =\frac{R_{r}}{R_{i}} \Rightarrow R_{r} =\alpha R_{i} \Rightarrow R_{r} =\alpha SF$$
Onde S é a área transversal do planeta, no caso, a Terra. Portanto:
$$\Rightarrow R_{r} =\frac{\alpha L_{\odot} \pi R_{\oplus}^{2}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$$
Energia absorvida pela Terra
Se um planeta reflete a energia por um fator de $$\alpha$$, a energia restante será absorvida, sendo utilizada para esquentar o corpo.
Matematicamente falando:
$$A=(1-\alpha)SF=(1-\alpha)\pi R_{\oplus}^{2} \frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^2}$$
Sendo $$A$$ e $$R_{r}$$ em unidades de $$J/s$$.
Preste atenção em como usar a área do objeto a qual está sendo emitido luz. Em termos de energia absorvida e refletida é usada a área projetada da esfera, ou seja, da maior circunferência que há dentro dela. Porém, para questões de temperatura de planetas temos:
Temperatura de um planeta 1
Para o primeiro exemplo, será considerado um planeta de rotação rápida, ou seja, ele rotaciona de maneira que a energia recebida por cada ponto da esfera seja igual, sendo assim, todos os pontos do objeto estão com a mesma temperatura (considerando que sua superfície tem mesma composição).
Sendo assim, considerando que no equilíbrio térmico, ele tenha comportamento de corpo negro, podemos dizer que toda a energia absorvida será usada para ditar sua temperatura, em outras palavras, a luminosidade intrínseca do planeta será numericamente igual a energia de absorção.
$$L=A \therefore 4\pi R_{p}^{2} \sigma_{B} T^{4} =(1-\alpha )\pi R_{p}^{2}\frac{L_{\odot}}{4\pi d^{2}} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow T = \sqrt[4]{\frac{(1-\alpha )L_{\odot}}{16\pi \sigma_{B} d^{2}}}$$
Temperatura de um planeta 2
Considerando agora que somente um hemisfério esteja olhando para a estrela, sua luminosidade se dará por receber energia nesta face, ou seja, metade de uma esfera.
Com isso, a luminosidade não será mais dependente de um fator de área de $$4\pi R_{p}^{2}$$, mas sim de $$2\pi R_{p}^{2}$$. Consequentemente, não existirá mais o coeficiente de 16 na temperatura superficial, mas sim a metade deste, ou seja:
$$\Rightarrow T = \sqrt[4]{\frac{(1-\alpha )L_{\odot}}{8\pi \sigma_{B} d^{2}}}$$
- Exemplo
Calcule o fluxo de energia que um hemisfério recebe, devido a presença da lua. Considere que estamos em Lua cheia e que somente a ela está visível no céu de todo o hemisfério.
Solução
NB! A resolução original deste problema estava errada, apesar do resultado final estar correto. Se você leu esta seção antes do dia 9/3, é recomendado que o faça novamente
Primeiramente, é considerado que tanto a Lua como a Terra possuem albedo e que a distância entre a Terra e Lua seja desprezível quando se leva em conta a distância Terra e Sol. Além disso, note que quando a Lua é cheia, ela está em “oposição” com a Terra.
Assim, o fluxo do Sol a uma distância igual a distância Sol-Lua, $$d_{\odot \rightarrow \oplus}$$ é:
$$F_{\odot \rightarrow L} =\frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$$
Com isso, a energia refletida pela Lua será:
$$A= \alpha_{L} \pi R_{L}^{2} \frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}} = \frac{\alpha_{L} R_{L}^{2} L_{\odot}}{4d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$$
[spoiler title=’Digressão sobre ângulo sólido’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A próxima passagem é refinada o suficiente para merecer sua própria digressão. Quando queremos calcular a potência (denominada por $$A$$ nesta aula) incidente em um planeta de raio $$R$$ a uma distância $$d$$ da estrela de luminosidade $$L$$, fazemos:
$$A=\Omega L=\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}L$$
Onde $$\Omega$$ é a fração de energia emitida pela estrela que efetivamente incide no planeta. O termo $$\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$$, que você provavelmente já está cansado de ver, é o próprio valor de $$\Omega$$ no caso particular do problema proposto (temperatura do planeta). Ainda, pode-se perceber que $$\Omega$$ é o ângulo sólido ocupado pelo planeta quando visto da estrela, assim como é representado na imagem abaixo:
Perceba que, especificamente para o caso em que a estrela irradia isotropicamente, ou seja, igualmente em todas as direções, e o raio do planeta é muito menor que a distância dele à estrela, $$\Omega=\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$$, já que o ângulo sólido é essencialmente a razão entre as áreas transverais.
Concluindo, lembre-se que o fator $$\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$$ é somente válido para o caso particular que $$d>>R$$
[/spoiler]
Agora, a energia emitida pela Lua que incide na Terra é:
$$A_{in}=A\frac{\pi R_{\oplus}^2}{4\pi d_{L\rightarrow \oplus}^{2}}$$
Logo, a energia absorvida pela Terra é:
$$A_{\oplus}=(1-\alpha_{\oplus}) A_{in}$$
$$A_{\oplus}=(1-\alpha_{\oplus})\frac{\alpha_{L}L_{\odot}R_{L}^{2}}{16\pi d_{L\rightarrow \oplus}^{2} d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}\pi R_{\oplus}^{2}$$
- Questões que utilizam essa ideia:
- IOAA 2007 – T16
- IOAA 2011 – T14
- Barra do Piraí 2018 – Prova Teórica 1 – Q5