Segunda Fase 2019 - Dissertativas

Macroeconomia - Inflação e Indicadores Econômicos

a) A inflação é um conceito econômico que representa o aumento persistente e generalizado do preço de uma cesta de produtos em um país ou região durante um período definido de tempo.

b) O rendimento real é o retorno que um investidor receberá após a taxa de inflação ser descontada dos lucros de um investimento.

c) Ter conhecimento sobre estes conceitos oferece ao estudante visão macroeconômica, o que lhe permite uma melhor capacidade de tomada de decisão sobre seus investimentos (exemplo: aumento da inflação é indicativo de chance de aumento da taxa de juros, o que retrai os investimentos das empresas etc.). Por outro lado, um maior entendimento sobre inflação também permite maior clareza sobre planejamento financeiro, já que é imprescindível avaliar a rentabilidade dos seus investimentos a partir do ganho real e não do nominal.

Microeconomia - Oferta, Demanda e equilíbrios

Questão dividida em 4 pontos:

Saber desenhar o gráfico (25%); explicar o Ponto de Equilíbrio (25%); explicar o Excesso de demanda (25%); explicar o Excesso de Oferta (25%).

Ponto de Equilíbrio: a quantidade do bem que os compradores desejam e podem comprar é exatamente igual à quantidade do bem que os vendedores desejam e podem vender. Pode ser chamado de preço de ajustamento, pois é nesse preço que o mercado está satisfeito.

Excesso de Oferta: vendedores não conseguem vender seus produtos pelo preço vigente. Respondem a essa situação diminuindo o preço. Com a diminuição nos preços, a quantidade de demanda aumenta, e a quantidade ofertada diminui. Os preços diminuem até atingir-se o equilíbrio.

Excesso de Demanda: compradores não conseguem comprar tudo o que desejam pelo preço vigente. Compradores precisam esperar em longas filas para uma oportunidade para comprar o produto (déficit). Vendedores respondem a isso aumentando o preço sem comprometer as vendas até que a demanda se ajuste conforme o preço e assim atinja o equilíbrio.

Finanças - Teoria dos Portfólios e Markowitz

A parte (1) e (2) da resposta correspondem cada uma a 50% da nota.

A teoria de Markovitz propõe a utilidade que diversificação de portfólios tem para gestão de carteiras, explicando como é possível (1) reduzir o risco de um portfólio sem reduzir seus retornos esperados. A partir da teoria e do gráfico exposto é possível visualizar que (2) um gestor de carteiras que está exposto a 50 ativos com correlação de 40%, por exemplo, está exposto a praticamente o mesmo risco (desvio padrão) que um gestor que está exposto a apenas 5 ativos.

Desta forma é possível otimizar substancialmente o processo de gestão e escolha dos ativos, viabilizando um acompanhamento e análise muito mais profunda e eficiente dos portfólios.

Finanças - Balanços e Demonstrativos Financeiros

Macroeconomia - Políticas Públicas

Para resposta cheia (100%) o aluno deve fundamentar sua argumentação em dois pontos:

1. As despesas com pessoal e encargos representam de longe a maior parcela (pelo gráfico é possível estimar que é superior a 80%) dos orçamentos das instituições públicas, ainda, esta categoria de despesa foi a única que aumentou sua participação nos orçamentos nos últimos anos.
2. O aluno deve propor uma solução que diversifique a estrutura de receita das universidades, sendo coerente e realista, podendo também citar exemplos existentes.
   Exemplos: cobrar mensalidades nas universidades públicas; aumentar a participação de capital privado de empresas no financiamento de atividades e projetos (como laboratórios e bolsas). Ainda, como citado na prova da primeira fase, viabilizar o financiamento a partir de Fundos de Endowment (Fundos Patrimoniais), atraindo capital privado a partir de doações de ex-alunos.

Finanças - Balanços e Demonstrativos Financeiros

Microeconomia - Limite de Produção

a) o custo do metro quadrado de laje é irrelevante, dado que a área a ser cercada é fixa.

b) Revisando informações, temos que:

A = área da parede velha a ser demolida.
C = custo total da obra.
c = custo do metro quadrado da parede nova.

Considere que todas as medidas de comprimento estão em metros e as de área em metros quadrados.
Então $A = x \cdot 3$, em que $x$ é o comprimento de parede velha (a ser demolida), sendo sua altura equivalente a 3. Logo, o comprimento não demolido é $12 - x$.

É preciso perceber que este comprimento $12 - x$ será um dos lados do retângulo, pois devemos preservar
ao máximo a parede velha, já que seu custo de reparo é menor que o custo de reaproveitamento ou custo
de se fazer uma parede nova.

Seja $y$ o outro lado do retângulo a ser cercado com as paredes. Como a área do retângulo é 112, temos
que $(12 - x) \cdot y = 112$ e $y = \frac{112}{(12-x)}$.

Veja um esboço da planta:

O perímetro do retângulo vale $2 \cdot (12 - x + y)$.

A parede velha cobrirá $12- x$ do perímetro, ao custo $0,25c$ por metro quadrado, logo o custo de restauração
da parede velha vale $(12 - x) \cdot 3 \cdot 0,25c$.

Um comprimento $x$ do perímetro pode ser construído utilizando-se os tijolos da parede demolida, ao custo de $0,5c$ por metro quadrado. Logo o custo deste pedaço vale $x \cdot 3 \cdot 0,5c$.

Portanto, um comprimento $12 - x + 2y - x$ deve ser construído do zero, ao custo $c$ por metro quadrado. Logo o custo desta parte da obra vale $(12 + 2y - 2x) \cdot 3 \cdot c$.

O custo da laje vale $112 \cdot 2c$, e, portanto, é fixo, independente de $x$ e $y$.

Deste modo o custo total da obra vale:

$C = \left ( 12 - x \right ) \cdot 3 \cdot 0,25c + x \cdot 3 \cdot 0,5c + \left ( 12 + 2y - 2x \right ) \cdot 3 \cdot c + 112 \cdot 2c$

$C = c \left [ 269 - 5,25x + 6y \right ]$

$C = c \left [ 269 - 5,25x + 6 \frac{112}{12-x} \right ]$

$X = c \left [ 269 - 5,25 \frac{A}{3} + 6 \frac{112}{12 - \frac{A}{3}} \right ]$

c) Retomando que $C = c \left [ 269 - 5,25x + 6y \right ]$, percebemos que para minimizar o custo é preciso minimizar $f \left ( x, y \right ) = 6y - 5,25x$. Sabendo que

$5,25 = 7 \cdot 0,75$ e $6= 8 \cdot 0,75$, teremos

$f \left ( x, y \right ) = \left ( 8 \cdot 0,75 \right ) y - \left ( 7 \cdot 0,75 \right ) x = 0,75 \left ( 8y - 7x \right )$

Se fosse possível que $8y = 7x$, teríamos o custo mínimo igual a $C = 269c$. Com isso:

$112 - 2 \cdot 7 \cdot 8 = \left ( 12 - x \right ) \cdot y$

Dado que $z = 12 - x$ e $x = 12 - z$, poderemos ter:

$f \left ( x, y \right ) = 0,75 \left ( 8y - 7x \right )$

$g \left ( z, y \right ) = 0,75 \left ( 8y - 7 \left ( 12 - x \right ) \right ) = 0,75\left ( 8y + 7z - 84 \right )$

Assim, para minimizar $f$ é preciso minimizar $h \left ( z, y \right ) = 8y + 7z$ com a restrição $z \cdot y=112$. Com isso, $7z \cdot 8y = 56 \cdot 112$

Chamando $A=7z$ e $B=8y$ o problema fica reduzido a minimizar $j \left ( A , B \right ) = A+B = S$ com $A \cdot B = 56 \cdot 112 = P$

$A$ e $B$ são raízes da equação $x^{2} -Sx + P = 0$

Para que as raízes existam devemos ter $\Delta \geq 0 \,\, \rightarrow�\,\, S2 \geq 4P$

Portanto o valor mínimo é $S=4P$ e neste caso $A=B=S/2 = \sqrt{P} = \sqrt{56 \cdot 112} = 56 \sqrt{2}$

Assim, $A = 7z = 7 \left ( 12 - x \right ) = 56 \sqrt{2} \rightarrow x = 12 - 8 \sqrt{2}$

Microeconomia - Planejamento de Projetos e Financiamentos

a) A ferrovia terá de ser construída de qualquer maneira, para unir o porto até a siderúrgica. Portanto seu custo é fixo. Considerando apenas o custo de construção, o melhor então é projetar a estrada mais curta possível, que, portanto, é perpendicular à ferrovia, e com comprimento de 50 km, conforme o esboço abaixo:

b) Seja $c$ o custo de transporte da tonelada de ferro por km, via ferroviária. Portanto mesmo custo, no transporte rodoviário é $1,8c$. Veja a figura:

O comprimento da rodovia a ser construída vale $\sqrt{50^{2}+x^{2}}$

No trajeto da jazida $C$ até a siderúrgica $A$, o minério de ferro será transportado primeiro por estradas, ao custo de $\sqrt{50^{2}+x^{2}} \cdot 1,8c$ e depois por trem, ao custo de $\left ( L - x \right ) \cdot c$. $L$ é um valor fixo, que corresponde ao trajeto da ferrovia até o ponto em que uma estrada perpendicular à ferrovia interceptaria a mesma.

Então, $C = \sqrt{50^{2}+x^{2}}\cdot 1,8c + \left ( L-x \right )\cdot c$

$C = c \left ( 1,8 \sqrt{50^{2}+x^{2}}-x \right )+Lc$

$C = 1,8c \left (\sqrt{50^{2}+x^{2}}-\frac{1}{1,8}x \right )+Lc$

Como $Lc$ é um valor fixo, precisamos determinar o valor de $x$ que minimiza $50^{2}+x^{2}-\frac{1}{1,8}x$, o que, de acordo com a informação do enunciado vale $x = \frac{50\cdot\frac{1}{1,8}}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{1,8}\right )^{2}}}$ km.

c) Custo de manutenção da ferrovia, da rodovia, dos trens, dos caminhões, custo operacional com pessoal

d) É preciso estimar a vida útil da jazida (com informações geológicas), da siderúrgica (considerando sua eficiência e seu risco de defasagem tecnológica) e o risco comercial de se continuar exportando aço (o que depende do mercado internacional e do próprio fato de ser ou não o aço uma matéria prima importante no futuro). Uma vez que se tem esta informação é possível comparar a relevância de se construir uma estrada o mais barata possível versus um custo operacional mais barato (e que dilui o custo fixo da construção a longo prazo). Com a informação é possível inclusive construir uma função custo que combine ambas as informações 1 e 2.
O projeto da rodovia perpendicular à ferrovia é mais barato. Entretanto, quando maior expectativa de vida útil da jazida, mais relevante será o custo de seu uso (transporte). Assim, é muito mais provável que o projeto combinado esteja muito mais próximo daquele calculado com a informação 2 do que do projeto que considera exclusivamente a informação 1. É provável inclusive, que a informação 1 (que é um custo fixo) seja desprezível em relação à informação 2 (um custo variável).

Finanças - Rendimento de Títulos e Previdência

a) Seja $i$ a taxa de juros mensal com a qual o capital é remunerado. Seja $N$ a duração do investimento em anos. Então, a quantidade de meses de investimento é $12N$.

O primeiro depósito, no mês seguinte, equivalerá a $100 \left (1+i \right )$. Dois meses depois, equivalerá a $100 \left (1+i \right )^{2}$. Considerando todos os depósitos, após $12N$ meses o saldo S será, portanto:

$S = 100 + 100\left(1+i\right)+ 100\left(1+i\right)^{2}+ \cdots + 100\left(1+i\right)^{12N-1}$

Temos aqui uma soma de PG finita. Nela, vemos que seu termo inicial é $100$, sua razão é $\left (1+i \right )$ e $12N$ parcelas. Logo:

$S = \frac{100\left(1+i \right )^{12N-1}\left(1+i \right )-100}{\left(1+i \right )-1} = \frac{100 \left [ \left (1+i \right )^{12N} -1 \right ]}{i}$

Tendo em vista que devemos tomar $i = 1%$ e $N = 20$, procederemos de tal forma que:

$S = \frac{100 \left [ \left ( 1+0,01 \right )^{12\cdot20} -1 \right ]}{0,01} = 10000\left[2,4 \right ] = 24000$

Com isso, concluímos que R$24.000,00

b) Devemos converter a taxa semestral $i=10%$ em uma taxa mensal (que chamaremos de $i^{?}$). O faremos da seguinte forma:

$i^{'} = (1+i)^{\frac{T_d}{T_a}}$

Sendo $T_d$ o período da taxa desejada (mensal) e $T_a$ o período atual da taxa (semestral). Completando com os valores, teremos:

$i^{'} = (1+0,1)^{\frac{1}{6}}$

$\left(\sqrt[6]{1,1} \right )-1 \approx 1,016 -1\approx 1,6%$

Assim, obtemos que $i^{'} = 1,6%$. Assim:

$S = \frac{100 \left [ \left (1 + 1,6% \right )^{ 12 \cdot 20 } -1 \right ]}{1,6%}$

c) $R = \frac{100 \left [ \left (1+i \right )^{12N} -1 \right ]}{i}$ (não há método analítico para resolver esta equação).

d) Seja $x$ o número de meses procurado. Então:

$Z = \frac{100 \left [ \left (1+i \right )^{x} -1 \right ]}{i}$

$Z_i + 100 = 100\left(1+i \right )^x$

Aplicando logaritmos decimal em ambos os lados:

$\log(Z_i + 100) = \log[100\left(1+i \right )^x]$

$\log(Z_i + 100) = x \log[100\left(1+i \right )]$

$x = \frac{\log(Z_i + 100)}{\log[100\left(1+i \right )]}$

Finanças - Portfólios e Alfa

a) O evento  em questão seria: "um gestor específico montar um fundo de ações que renda mais que o Ibovespa por 15 anos consecutivos”. Para o modelo, iremos considerar o evento: "obter 15 sucessos em uma binomial (15, $\frac{1}{2}$)". Essa probabilidade é dada por:

$\frac{15!}{0!\cdot15!} 0,5^{15}(1-0,5)^0 = 0,5^{15}$

Note que podemos encarar isso como o lançamento de uma única moeda (ou seja, como uma distribuição de Bernoulli) cuja probabilidade de sucesso é de $0,5^{15}$. Isso será interessante para a questão seguinte.

b) Como o evento “um gestor específico montar um fundo de ações que renda mais que o Ibovespa por 15 anos consecutivos” pode ser encarado como uma sequência de Bernoulli ($0,5^{15}$), temos que o evento “algum gestor dentro de um grupo de 20.000 candidatos independentes montar um fundo de ações que renda mais que o Ibovespa por 15 anos consecutivos” pode ser modelado por uma Binomial ($20000, 0,5^{15}$).

Chamando essa variável aleatória de $X$, o que a questão pede é $P(X \geq 1)$. Usando os axiomas de Kolmogorov temos:

$P(x \geq 1) = 1 - P (X=0) = 1 - \frac{20000!}{0!\cdot20000!}(0,5^{15})^0\cdot(1-0,5^{15})^{20000} = 1-(1-0,5^{15})^{20000}$