Escrita por Antônio Ítalo
O método das imagens é uma técnica especial desenvolvida para encontrar o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço de maneira simples. A maneira “comum” de encontrar o potencial em qualquer lugar do espaço é resolver a chamada equação de Laplace. Para poder entender a equação de Laplace é necessário ter conhecimento de cálculo vetorial, por isso geralmente não é abordada em olimpíadas, entretanto, da equação de Laplace surge um teorema muito interessantes que será abordado a seguir.
Teorema da Unicidade
O teorema da unicidade diz que há somente uma solução para a equação de Laplace que obedece as condições de contorno para certo problema. Ou seja, há somente um potencial que satisfaz a equação de Laplace e os contornos de certo problema. A força desse teorema está no fato de que se conseguirmos gerar através de cargas imagens um potencial que obedece as condições de contorno, teremos então a única solução para o problema. Vejamos o exemplo mais clássico a seguir.
Plano Aterrado
Dado um plano infinito aterrado no plano $$x-y$$ de um espaço $$x-y-z$$ e uma carga $$q$$ posicionada no ponto $$\left(0,0,d\right)$$ encontre o potencial para qualquer $$z$$ maior ou igual a zero, o campo para qualquer $$z$$ maior que zero, a força entre a carga e o plano aterrado, a distribuição de carga no plano aterrado e a carga total induzida no plano aterrado.
Solução:
Podemos posicionar uma carga imagem $$-q$$ no ponto $$\left(0,0,-d\right)$$, dessa forma o potencial na placa será $$0$$ em todos os pontos, pois é equidistante das duas cargas de sinais opostos. Sendo assim, já sabemos o potencial e o campo elétrico acima do plano:
$$V\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{d_{q}}-\dfrac{Kq}{d_{-q}}$$
$$V\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-d\right)^{2}}}-\dfrac{Kq}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+d\right)^{2}}}$$
$$\vec{E}\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{\left(\left(z-d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+\left(z-d\right)\hat{z}\right)-\dfrac{Kq}{\left(\left(z+d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+\left(z+d\right)\hat{z}\right)$$
É importante notar que esse resultado não é válido para $$z<0$$, pois a distribuição de carga nessa região não é a mesma. Note também que na região abaixo do plano não pode haver campo elétrico, pois, pela lei de Gauss, que diz:
$$\displaystyle{\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}}=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_{0}}$$
Onde $$\displaystyle{\oint}$$ simboliza uma integral sobre uma superfície fechada. Se essa fosse uma solução válida, a lei de Gauss estaria sendo violada, pois ao tomar uma integral sobre uma superfície fechada que incluísse nossa carga imagem $$-q$$, então não obteríamos o zero que deve ser obtido. Sendo assim, o campo elétrico deve ser zero.
Sabendo disso, podemos aplicar a lei de Gauss em uma pequena “pillbox” em torno da nossa placa na posição $$\left(x,y,z\right)$$. Essa pillbox é uma superfície retangular de espessura e área que tende a zero.
$$\left(\vec{E}_{acima}\cdot\hat{z}-\vec{E}_{abaixo}\cdot\hat{z}\right)A=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_{0}}$$
$$E_{Zacima}-E_{Zabaixo}=\dfrac{\sigma}{\epsilon_{0}}$$
Essa é a condição de contorno geral para os campos elétricos perpendiculares a uma superfície, nesse caso, temos:
$$E_{Zacima}=-2\dfrac{Kqd}{\left(\left(d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}$$
$$E_{Zabaixo}=\vec{0}$$
Sendo assim, temos a distribuição de cargas induzidas no plano aterrado:
$$\sigma=-2\epsilon_{0}\dfrac{Kqd}{\left(d^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}$$
Antes de integrarmos, sobre toda a superfície, facilitaremos nosso trabalho se convertermos essa expressão para coordenadas polares, sendo $$r$$ a distância até a origem, temos que:
$$\sigma=-2\epsilon_{0}\dfrac{Kqd}{\left(d^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$$
Também em coordenadas polares, temos a expressão para um diferencial de área sobre o mesmo $$r$$:
$$dA=2\pi r dr$$
Integrando:
$$q_{ind}=-2\epsilon_{0}Kqd\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \dfrac{2\pi r dr}{\left(r^{2}+d^{2}\right)^{3/2}}}$$
Substituindo $$K=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$$
$$q_{ind}=-qd\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac{r dr}{\left(r^{2}+d^{2}\right)^{3/2}}}$$
Chame $$U=r^{2}+d^{2}$$, então, $$dU=2r dr$$, logo:
$$q_{ind}=-\dfrac{qd}{2}\displaystyle{\int_{d^{2}}^{\infty}\dfrac{dU}{U^{3/2}}}$$
$$q_{ind}=-\dfrac{qd}{2}\left(-\dfrac{2}{\sqrt{\infty}}+\dfrac{2}{\sqrt{d^{2}}}\right)$$
$$q_{ind}=-q$$
Agora só nos resta calcular a força, pode estar se perguntando se não é simplesmente a força entre a carga $$q$$ e a carga $$-q$$ e a resposta para essa pergunta é sim, mas é necessário justificar esse fato como faremos a seguir. Sabemos que o campo elétrico acima do plano condutor é o mesmo que no caso da carga $$q$$ e sua carga imagem $$-q$$, logo, por definição de campo elétrico, a força elétrica também deve ser, temos então a força entre o plano aterrado e a carga $$q$$ por:
$$|F|=\dfrac{Kq^{2}}{4d^{2}}$$
Esfera aterrada
Dada uma carga $$q$$ a uma distância $$a$$ de uma esfera condutora aterrada, encontre a distribuição de cargas, o potencial em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço, a distribuição de cargas na superfície da esfera, a carga total induzida na esfera e a força entre a esfera e a carga.
Solução:
A situação é completamente análoga à do exemplo anterior, mas encontrar a carga imagem que garantirá a condição de contorno do potencial nulo na esfera aterrada é um pouco mais complexo. Vamos procurar por uma carga $$q’$$ que é colinear com o centro da esfera aterrada e a nossa carga $$q$$, que está situada à uma distância $$a$$ do centro da esfera de raio $$R$$. A carga imagem estará localizada a uma distância $$b$$ do centro da esfera aterrada. Observe a imagem a seguir:
Devemos garantir que para $$r=R$$, independentemente do ângulo $$\theta$$, teremos potencial nulo, portanto, escrevamos o potencial em função do ângulo $$\theta$$:
$$V=\dfrac{Kq}{d}+\dfrac{Kq’}{r’}$$
$$0=\dfrac{Kq}{\sqrt{R^{2}+a^{2}-2Ra\cos{\theta}}}+\dfrac{Kq’}{\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos{\theta}}}$$
$$\dfrac{q’}{\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos{\theta}}}=-\dfrac{q}{\sqrt{R^{2}+a^{2}-2Ra\cos{\theta}}}$$
Para facilitar nosso trabalho, analisemos alguns casos particulares: $$\theta=0$$ e $$\theta=\pi$$
$$\theta=0$$:
$$\dfrac{q’}{R-b}=\dfrac{q}{R-a}$$
$$\theta=\pi$$
$$\dfrac{q’}{R+b}=-\dfrac{q}{R+a}$$
Dividindo o caso de $$\theta=\pi$$ pelo caso de $$\theta=0$$, temos:
$$\dfrac{R+b}{R-b}=\dfrac{R+a}{a-R}$$
$$b=\dfrac{R^{2}}{a}$$
Logo:
$$q’=-\dfrac{qR}{a}$$
Agora que descobrimos a distribuição de carga que segue as condições de contorno, podemos descobrir analogamente ao item anterior (Talvez com algumas contas a mais), todas as grandezas que descobrimos anteriormente, mas isso será deixado como exercício para o leitor.
Esfera Condutora Neutra não aterrada
Dada uma carga $$q$$ a uma distância $$a$$ de uma esfera condutora Neutra de raio $$R$$, encontre o potencial eletrostático em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço e a distribuição de cargas na superfície da esfera.
Solução:
Teremos nesse caso um problema muito semelhante ao anterior, entretanto as condições de contorno são um pouco diferentes. No problema anterior, conseguíamos afirmar que o potencial na superfície da esfera é nulo, entretanto, nesse problema podemos afirmar somente que o potencial é constante na superfície da esfera. Além disso, devemos usar também a nossa nova condição de contorno: A esfera é neutra. Sendo assim, as cargas imagens que forem colocadas dentro dela devem somar zero. Sabemos que a solução da questão anterior garantia um potencial nulo na superfície da esfera, entretanto, não obedece a condição da carga ser nula dentro da esfera, portanto, se adicionarmos uma carga no centro de sinal oposto ao da primeira carga imagem e mesmo módulo, seguiremos todas as condições de contorno e, portanto, poderemos então calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico em todo o espaço fora da esfera. O cálculo dessas grandezas dentro da esfera é bem mais simples, como nossa esfera é condutora, o campo elétrico deve ser nulo, então o potencial deve ser constante e igual ao da superfície. Para calcular a distribuição de cargas simplesmente utilizaremos a mesma condição de contorno utilizada no caso do plano aterrado. Os cálculos serão deixados como exercício para o leitor.
Observação importante
A energia do sistema “cargas + cargas imagens” não é a mesma do sistema “cargas + superfícies condutoras”. Isso decorre do fato de que no sistema “cargas + cargas imagens” é necessário trazer do infinito tanto as cargas reais quanto as cargas imagens, entretanto, no nosso sistema “cargas + superfícies condutoras” realizamos trabalho para trazemos as cargas reais do infinito enquanto a carga induzida simplesmente se move ao longo da superfície condutora sem necessidade de que um trabalho seja fornecido. Para o caso do plano aterrado, por exemplo, teremos que a energia desse sistema será metade da energia do sistema “carga + carga imagem”.
Problemas Propostos
P1- Esfera carregada
Uma esfera condutora de carga total $$Q$$ e raio $$R$$ está a uma distância $$a$$ de uma carga pontual $$q$$. Encontre:
a) A força entre a carga e a esfera.
b) O potencial elétrico fora da esfera.
c) A distribuição de cargas na superfície da esfera.
P2- Tempo de queda
Uma carga pontual $$q$$ é solta do repouso a uma distância $$H$$ de um plano condutor infinito aterrado. Encontre o tempo que levará para a carga colidir com o plano. Dica: Você pode procurar analogias com as leis de Kepler.
P3(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)- Outra esfera
Considere uma esfera metálica de raio $$R$$ que se encontra conectada a uma fonte de potencial $$V_{0}$$. Em frente a essa esfera se coloca um pêndulo de comprimento $$L$$ amarrado a uma parede que está a uma distância $$d$$ do centro da esfera. O pêndulo tem em seu extremo uma carga pontual $$q$$ de massa $$m$$ que forma um ângulo $$\phi$$ com a horizontal. Desprezando todos os efeitos devido a gravidade:
a) Determine o módulo da força que a carga sente devido à esfera.
b) Considere agora que a esfera está aterrada. Determine a frequência de pequenas oscilações do pêndulo se este é desviado ligeiramente da horizontal.
P4(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)-Óptica?
Considere uma carga pontual $$q$$ que está na bissetriz de dois condutores ideais aterrados planos que formam entre si um ângulo de $$45^{\circ}$$ (Ver figura). Se a carga está a uma distância $$d$$ de ambos os condutores, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores. Dica: Em geral, pode-se pensar nos planos aterrados como espelhos planos.
P5(Introduction to Electrodynamics-Griffiths)-Perpendiculares
Considere uma carga pontual $$q$$ que está entre dois condutores ideias aterrados planos que formam entre si um ângulo de $$90^{\circ}$$ (Ver figura). Se a carga está a uma distância $$a$$ do condutor que está na vertical e uma distância $$b$$ do condutor que está na horizontal, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores.