Lista 04 - Circuitos AC - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) Guitarra desafinada

Um circuito consiste de uma fonte de tensão da forma V_{0} \cos \omega t em série com um interruptor S, um resistor R e um indutor ideal L. Esse circuito faz parte do sistema elétrico de uma guitarra, e portanto é esperado que não possua correntes transientes que mudem o som almejado pelo guitarrista. Para realizar isso, a guitarra possui um mecanismo que fecha o interruptor S um certo tempo \Delta t após a fonte de tensão ser ativada em t=0.

a) Ache \Delta t em função dos parâmetros do problema para gerar um som limpo. Qual a tensão da fonte nesse instante?

Dica

Calcule a diferença de fase entre a tensão da fonte e a corrente no sistema e divida pela velocidade angular da fonte. Essa diferença de fase coincide com o argumento da impedância total no plano complexo.

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b) Um defeito na soldagem dos componentes dessa guitarra faz com que haja uma resistência adicional imprevista r nesse circuito. Ache a intensidade da corrente transiente que surge em função disso quando S é fechado. Qual o valor da indutância a ser adicionada para corrigir esse defeito (não se preocupe em mudar a amplitude da corrente)?

Dica

A intensidade do transiente depende da corrente inicial e decai exponencialmente.

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2) Uma linha de transmissão especial

Um fio metálico cilíndrico retilíneo de comprimento L extremamente grande e raio b possui resistividade \rho, e suas extremidade estão ligadas a uma fonte de tensão alternada V_{0} \cos \omega t (o contato é feito por um eletrodo que encosta em toda a área de secção transversal do fio). Assuma que a corrente elétrica que percorre o fio é uniformemente distribuída ao longo de sua secção transversal, e que o fio não é ferromagnético. Use nos itens abaixo quaisquer constantes da natureza eventualmente necessárias, considere a condutividade do ar nula. Nessa linha de transmissão, a corrente vai por um fio até a cidade e volta da cidade pelo fio ao lado.

 

a) Calcule a energia armazenada nos campos magnéticos e a partir disso determine a autoindutância do fio. Use apenas a energia associada ao campo magnético dentro do fio na sua conta e justifique o porquê.

Dica

Iguale duas expressões para a energia magnética: uma que depende do campo magnético ao quadrado e do volume e outra que depende da indutância e da corrente elétrica.

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b) Escreve a equação diferencial para a corrente i(t) no circuito. A resistência e indutância equivalentes estão em série ou em paralelo? Justifique e desenhe as linhas de campo elétrico induzidas cujo trabalho corresponde a energia magnética armazenada.

Dica

Os campos elétricos induzidos são axiais, na direção da corrente, e portanto a indutância está em série com a resistência.

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c) Assuma que a corrente está no estado estacionário e resolva para i(t).

d) Atribua valores razoáveis para os parâmetros do problema (L é da ordem de dezenas de quilômetros) e comente sobre a potência dissipada pela linha de transmissão. Caso o fio tivesse uma permeabilidade \mu muito alta e a mesma resistividade, isso ajudaria ou não a companhia elétrica responsável por essa linha de transmissão? Justifique e dê um exemplo numérico da razão de gastos (uma porcentagem aproximada é o bastante). Esboce gráficos sempre que possível.
Use \rho = 1,7 *10^{-8} \Omega m.

Dica

A potência elétrica dissipada corresponde ao produto interno dos vetores (fasores) corrente e tensão; lembre-se de considerar o ângulo entre eles. A razão disso é que a energia armazenada na forma de campos magnéticos é "intocável" pelos processos dissipativos, então não é dissipada.

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3) Uma questão clássica

Determine todas as frequências naturais do circuito abaixo. Faça uso das desigualdades fortes C_{1}<<C_{2} e L_{1}<<L_{2}.

 

Dica

Em um circuito de corrente alternada de alta frequência, uma capâcitânica muito grande equivale a um curto circuito no fio em que ela se encontra. Similarmente, uma indutânica muito grande faz parecer que o seu fio está rompido (i.e, não passa corrente). Quando a temos baixa frequência, uma indutânica pequena é um curto circuito e uma capacitância pequena é um fio rompido. Considere esses dois casos.

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4) Um circuito que vaza

Considere um circuito que está em um meio levemente condutor, de modo que parte da corrente escape dos fios e se perca. Seja a condutividade do meio \sigma pequena, de modo que a corrente total que escapa dos fios de raio s é bem menor que a corrente que os percorre. Seja um circuito RLC forçado por uma fonte de tensão  V_{0} \cos \omega t. Imagine que o resistor se conecta diretamente à fonte de tensão, o indutor se conecta ao resistor por um fio reto de comprimento w, o capacitor se conecta ao indutor por outro fio reto de comprimento w, e o outro polo da fonte se conecta de novo no capacitor. Determine o fator de qualidade desse circuito e sua frequência de ressonância de corrente.

Dica

Como o fio é um condutor perfeito, ele é equipotencial. Calcule o campo elétrico fora de um cilindro com potencial dado e a partir daí ache a corrente total que escapa do fio. Inclua essa corrente nas leis de Kirchhoff e resolva. Nota: essa corrente depende da tensão do fio. O potencial elétrico que você achará divergirá para distâncias grandes, mas isso é uma consequência de supor que o fio é infinitamente longo, então ignore a divergência, afinal você se importa apenas com o potencial do fio, e não muito longe dele.

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Dica

A corrente que vaza em cada fio é i=\dfrac{2 \pi w V \sigma}{\ln R}

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5) Carregando uma moeda

Uma moeda de raio R e espessura h possui um eletrodo cilíndrico fixado em um ponto em sua borda. Sabendo que a moeda possui resistividade \rho e que o raio do eletrodo é r<<R, responda:

a) Ache a posição e a intensidade da corrente no eletrodo imagem fora da moeda que satisfaz as condições de contorno na borda.

Dica

Como a corrente é proporcional ao campo elétrico, e a corrente cai com \dfrac{1}{r} por causa da equação da continuidade, faça uma analogia com carga imagem de um fio carregado, cujo campo elétrico também cai com \dfrac{1}{r}.

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b) Considerando que todo o acúmulo de cargas na moeda ocorre nas bordas, ache a capacitância da moeda caso outro eletrodo seja cravado no meio do caminho entre o da borda e o centro da moeda, com uma diferença de potencial V_{0} em relação ao da borda.

Dica

O jeito mais fácil é encontrar a carga total.

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c) Essa moeda é posta em paralelo com um indutor L e uma fonte de tensão V_{0} \cos \omega t. Ache a frequência de ressonância do sistema.

6) Dando zoom em um circuito

Um circuito LC em série tem elementos de geometria arbitrária. Se todas as dimensões lineares do circuito aumentarem por um fator \gamma, qual será a nova frequência de ressonância?

Dica

Pense nas equações de Maxwell: se todas as escalas espaciais aumentassem por um fator, o que deve acontecer com a escala temporal para que as equações continuem satisfeitas?

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7) Circuito LC-Zener

Seja inicialmente um circuito LC em série com um interruptor. O interruptor é aberto e uma carga q_{0} é dada ao capacitor. Então, o interruptor é fechado.

a) Desenhe um diagrama de fase no espaço I-q que representa o estado do sistema. Inclua os parâmetros quantitativos relevantes no seu diagrama.

Dica

Perceba que a equação de conservação de energia é uma elipse no plano I-q com centro na origem

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Um diodo Zener é um diodo bi-direcional: para voltagens positivas maiores que um certo V_{d} ele deixa passar corrente, a para voltagens negativas menores que um certo -V_{b} ele deixa passar corrente no outro sentido. Não passa corrente alguma para -V_{b}<V<V_{d}. Para o nosso caso, considere que V_{d}=V_{b}. Esse diodo é conectado em série com o indutor, o capacitor e o interruptor. Uma carga positiva q_{0}>CV_{d} é dada ao capacitor e o interruptor é fechado.

b) Desenhe o diagrama de fases I-q para esse circuito. Qual a condição para que a corrente seja nula para sempre?

Dica

Quando a corrente for positiva, troque o diodo por uma bateria idel de tensão V_{d}. Quando for negativa, por uma bateria de tensão oposta. Isso dará as mesmas equações relacionando carga e corrente, mas dessa vez com um eixo de simetria transladado.

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c) Ache o tempo T que leva para a corrente se tornar nula e o circuito parar. Dica: divida a situação em dois casos.

Dica

Note, pelo gráfico, que  a distância entre a carga quando a corrente é nula e a "zona da morte" reduz de 2CV_{d} a cada semiperíodo.

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8) Que fase!

Esse circuito serve para controlar a fase do sinal de saída, marcado como output na figura. Se a corrente de saída for muito pequena, qual a diferença de fase \Delta \phi obtida?

Dica

Se a corrente de saída for pequena, ela pode ser desprezada nas leis de Kirchhoff. Então, calcule a diferença de fase entre os pontos explicitamente, como se entre eles houvesse uma resistência infinita.

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9) Pulso em malha infinita

Uma malha infinita como a da figura acima é alimentada por uma fonte de tensão V_{0} \cos \omega t conectada entre o fios superior e o inferior. Uma diferença de fase \phi se desenvolverá entre capacitores sucessivos.

a) Calcule essa diferença de fase e determine a velocidade de propagação do pulso se cada célula tem comprimento l.

Dica

Ache uma equação recursiva

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Agora, consideremos células alternadas: Uma célula tem componentes L_{1} e C_{1} e a seguinte tem L_{2} e C_{2}, e assim sucessivamente.

b) Determine a fração da energia do pulso refletido entre as células n e n+1 em função de I_{n}, que é a corrente no indutor da célula n. Desconsidere pulsos refletidos mais de uma vez.

Dica

Iguale os campos elétricos indo e voltando, bem como sua derivada (i.e, o potencial elétrico). É um procedimento exatamente igual ao tratamento da reflexão normal de uma onda eletromagnética.

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c) Qual é a atenuação do pulso? Exprima isso como a quantidade N_{crit} de células necessárias para a amplitude do sinal cair por um fator de 10.

d) Explique qualitativamente o porquê desse sistema atrapalhar o fluxo de energia mesmo sem possuir resistência alguma.

Dica

A energia está sendo redirecionada pela diferença de reatâncias, e não dissipada.

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10) O trabalho de um coração

Um circuito RLC possui elementos resistivos e reativos, o que faz com que calcular a potência dissipada seja uma tarefa mais sutil. Faremos aqui uma analogia muito elementar (e incorreta, já que envolve pressões negativas) com um sistema circulatório em que os vasos sanguíneos podem ser modelados por um circuito RLC. Assuma que o período de um ciclo cardíaco é mais do que suficiente para o escoamento se tornar quase-estacionário, isto é, a todo instante o escoamento é momentaneamente estacionário.

a) Um vaso com comprimento L, raio s possui uma queda de pressão \Delta P entre suas extermidades. Se o sangue escoar laminarmente e possuir uma viscosidade \eta e densidade \rho, defina uma resistência hidráulica R_{h} como \Delta P=R_{h} Q, em que Q é o fluxo de sangue (em massa). Ache R_{h}.

Dica

Use a lei de Pouisseile para escoamentos cilíndricos.

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b) Quando uma certa pressão sanguínea P age sofre o vaso, ele se expande radialmente, armazenando energia potencial elástica. Se a espessura da parede do vaso vale e e seu módulo de Young vale Y, ache uma capacitância equivalente, C_{h}.

Dica

Calcule a o trabalho das forças tangenciais durante a expansão.

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c) Identifique a energia cinética do fluido em um certo trecho como sendo a energia armazenada no indutor correspondente. Ache uma expressão para a indutância equivalente, L_{h}.

Primeiramente, vamos analisar o circuito em que um único vaso de comprimento total L vai e volta do coração, que será tratado como um fonte de pressão simplificada P_{0} \cos \omega t. Considere que o raio que figura na resistência hidráulica é constante.

d) Ache o trabalho feito pelo coração sobre o sangue em um ciclo. Use os valores numéricos: \rho=1100 \dfrac{kg}{m^{3}}, \eta=3,3 \dfrac{m^2}{s}, s = 0.002 m, L=1 m, Y = 1 MPa, e=0,0005 m, P_{0} = 1 atm e \omega= 8 \dfrac{rad}{s}.

Dica

Naturalmente, o trabalho é o produto interno da corrente e pressão.

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e) Ache a energia dissipada por ciclo nesse sistema. Qual é o fator de qualidade Q_{f} desse oscilador?

Dica

O fator de qualidade é 2 \pi vezes a energia armazenada dividida pela energia perdida em um ciclo.

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f) Se, ao invés de um único vaso, tivéssemos N vasos iguais e de comprimento \dfrac{L}{N}, o fator de qualidade seria maior ou menor?

g) Calcule o fluxo de sangue na ressonância de energia potencial do sistema e na ressonância de energia cinética do sistema circulatório. Se a oxigenação dos tecidos for uma função linear do fluxo de sangue, determine a magnitude da arritmia cardíaca \Delta \omega para que a oxigenação caia pela metade.

Dica

Ressonância de energia potencial: A dilatação média dos vasos é máxima. Ressonância de energia cinética: o fluxo de sangue é máximo.

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Boa Sorte!!