Lista 06 - Hidrodinâmica - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) Desligando a mangueira

Uma situação bem conhecida da hidrodinâmica clássica é quando temos um escoamento estacionário de um líquido de densidade \rho e viscosidade \eta em um cano reto de seção circular de raio R e comprimento L. Suponha que esse estado estacionário é mantido por uma queda de pressão \Delta P para todos os tempos t<0, havendo assim um escoamento de Poiseuille.

a) Prove que para t<0, v_{x}(r)=\dfrac{\Delta P}{4\eta L}(R^2-r^2).

Dica

Iguale a força por causa da queda de pressão com a força devido a viscosidade em uma casca cilíndirca de raio r

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Em t=0, a queda de pressão é desligada de forma instantânea: \Delta P = 0, de modo que o escoamento começa a parar. Especialmente, o escoamento se torna não estacionário: v_{x}=v_{x}(r,t).

b) Prove que, por causa da simetria cilíndrica, \vec{v} \cdot \nabla \vec{v}=0

c) Suponha que o escoamento após o desligamento da queda de pressão pode ser descrito pela seguinte série infinita:

v_{x}(r,t)=\displaystyle{\sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} T_{n}(t) U_{n}(r)}.

Ache as equações satisfeitas por cada uma das funções separáveis T_{n}(t) e U_{n}(r).

Dica

Escreva a equação de Euler (não se esqueça do termo \eta \nabla^2 \vec{v}) e a equação da continuidade em coordenada cilíndricas. Use também o resultado do item anterior para simplificar a equação de Euler.

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d) Considerando que a solução da seguinte equação é dada pela função de Bessel de ordem zero:

\left( \dfrac{ \partial^2 }{ \partial r^2}+\dfrac{1}{r} \dfrac{ \partial}{ \partial r} \right) f(r) = - k^2 f(r)

f(r)=A J_{0} (k r)

Calcule o tempo característico t_{c} para o escoamento parar se a menor raíz de J_{0} vale 2.405

Dica

Para essa estimativa, considere apenas o primeiro termo de decaimento da série que fornece a velocidade.

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2) Cilindro Oscilante

Um cilindro longo de comprimento H e raio R oscila verticalmente em um tanque de um fluido de densidade \rho e viscosidade \eta, devido as forças peso, empuxo e viscosas que agem sobre ele. A aceleração gravitacional vale g e a massa do cilindro é m.

a) Ache o período de pequenas oscilações desconsiderando a viscosidade e a energia cinética do  fluido.

Dica

A força de empuxo é proporcional ao comprimento do cilindro submerso, uma vez que sua área de seção transversal é constante.

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Agora, vamos considerar os efeitos viscosos. Considere que o gradiente de pressão vale \rho g em todo ponto, e o campo de velocidade do fluido é U(r,t) (que é sempre vertical a não ser abaixo do cilindro, onde não nos interessa)

b) Escreva a equação de movimento de uma massa de fluido a uma distância r do centro do cilindro, em função de U(r,t) e suas derivadas.

Dica

É justo supor que o peso dessa massa é balanceado pelo empuxo sobre ela. Logo, toda a aceleração que ela possuir se deve a diferença de forças viscosas à sua esquerda e a sua direita. Essa diferença é uma constante vezes a segunda derivada da velocidade em relação a distância ao eixo do cilindro.

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c) Escreva a forca viscosa agindo no cilindro, e resolva sua equação de movimento.

Dica

Resolva a equação acima (suponha uma função da forma e^{i(kr-\omega t)} e ache a relação de dispersão), e então basta computar a derivada da velocidade em r=R.

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d) Ache a amplitude das oscilações naturais em função do tempo.

Dica

Basta resolver a equação do oscilador amortecido para o cilindro.

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3) Bombas de capilaridade

Um canal horizontal bastante fino (da ordem de milímetros) se conecta a um reservatório de água e extrai líquido desse reservatório por capilaridade. A tensão superficial entre o líquido e o material do canal é \gamma e o ângulo de contato vale \theta. Considerando uma viscosidade \eta, e que o escoamento se dá em um regime quasi-estacionário, ache o fluxo de massa extraído em função do tempo \phi(t). Despreze a pressão hidrostática da coluna de água e considere o canal aberto na outra extremidade.

Dica

Considere um escoamento de Poiseiuille em que a queda de pressão é a pressão de Laplace por causa do menisco que se forma. Cuidado! O ângulo de contato é relevante. Lembre-se que o menisco tem massa nula, então para achar a pressão faça a força horizontal sobre ele ser zero.

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4) Ar aprisionado

Uma represa de volume V e altura H tem em sua base um tubo fechado e horizontal de raio R e comprimento L, R << H, em que está aprisionado um volume de ar V_{ar}= \pi R^2 L a uma temperatura T. Em um certo instante, uma comporta é aberta e a água do reservatório entra nesse compartimento, comprimento o ar de forma adiabática até uma posição de equilíbrio. Despreze efeitos viscosos ou de tensão superficial. A gravidade local vale g.

a) Qual é o período de pequenas oscilações ao redor dessa posição de equilíbrio? Despreze a massa do ar quando comparada a da água.

Dica

Considere as forças agindo sobre a massa de água dentro do tudo. De um lado, a pressão hidrostática devido a coluna de água; de outro, a pressão do ar comprimido adiabáticamente. Use a conservação do volume de agua para saber a altura da agua na repressa.

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b) Esse ar passa a ser aquecido com um potência constante P, e não troca calor com a água. Qual a velocidade de subida da superfície livre da água em função do tempo? Deixe sua resposta em função do índice adiabático \gamma e outras constantes.

Dica

Se você desprezar o aumento do nível de água, já que o tubo é pequeno, a pressão sobre o gás é constante. Logo o aumento da temperatura dele é governado por c_{p}. Equacioanando temperatura e volume na equação de Clapeyron, fica fácil achar a taxa de expansão do gás.

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5) Estabilidade de um escoamento de Taylor-Couette

Um escoamento é dito estável se uma pequena perturbação de um elemento de fluido gera forças que o fazem retornar a sua posição original. Seja o escoamento laminar estacionário entre dois cilindros coaxiais infinitos, de raios R_{1} e R_{2} e velocidades angulares \Omega_{1} e \Omega_{2}, não necessariamente no mesmo sentido.

a) Prove que a velocidade do fluido entre os cilindros é da forma v(r) = A r + \dfrac{B}{r} e ache as constantes A e B. Use que o torque da força viscosa em relação ao centro é constante para todo r.

Dica

As constantes A e B surgem naturalmente como constantes de integração. Note que quando você escreve o torque sobre uma casca cilíndrica de raio r e espessura dr, surge uma derivada segunda de v; por isso duas constantes.

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É evidente que uma perturbação na direção azimutal é estável, então vamos analisar perturbações radiais apenas.

b) Lembrando que o escoamento é incompressível, escreva a condição para que mover um elemento de fluido de r para r+dr radialmente seja estável.

Dica

Basta que a força de pressão vivenciada por um elemnto de fluido na posição r+dr seja maior do que a força centrípeta necessária para manter uma fluido com velocidade v(r) em r+dr. Em outras palavras, basta que v(r+dr) \ge v(r)

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c) Qual a relação entre R_{1}, R_{2}, \Omega_{1} e \Omega_{2} para que se satisfaça a relação acima?

6) Oscilando sob um filme de água

a) Ache a força viscosa por unidade de área agindo em um plano infinito que oscila linearmente com amplitude A e frequência angular \omega em seu próprio plano, se sobre ele há uma camada de água de espessura h e viscosidade \eta.

Dica

Como a superfície livre de um líquido tem massa nula, não pode haver nenhum stress viscoso nela; ou seja \dfrac{\partial v_{x}}{\partial z} =0 em z=h.

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b) Ache o torque viscoso agindo em um disco de raio R muito grande que executa oscilações angulares \theta(t)= \theta_{0} cos (\omega t) dentro de um líquido infinito.

Dica

Para achar a velocidade angular do fluido, você terá que resolver uma equação da forma \dfrac{\partial \Omega(z,t)}{\partial t} =\dfrac{\eta}{\rho} \dfrac{\partial^2 \Omega(z,t)}{\partial z^2}. É válido assumir que a velocita do fluido é da forma v=r \Omega(z,t) no caso de R muito grande.

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7) Instabilidade de Kelvin-Helmholtz

A instabilidade de Kelvin-Helmholtz ocorre quando uma onda se propaga na interface de dois meios de densidades distintas, e o meio mais denso está acima. Existem inúmeros exemplos disso na natureza, desde a formação de nuvens no céu ao comportamento de átomos em fissão. Essa imagem retrata um padrão de nuvens chamado fluctus, causado pela IKH.

 

Considere dois meio invíscidos, de densidades \rho_{1} e \rho_{2}, e que as perturbações podem ser descritas pelos potenciais de velocidade:

\phi_{1} (x,z,t) = A e^{-\kappa_{1} z} e^{i (k_{1}x +\omega t)}

\phi_{2} (x,z,t) = B e^{\kappa_{2} z} e^{i (k_{2}x +\omega t)}

Caso as amplitudes da perturbação comecem pequenas, podemos desprezar a velocidade do fluido tangente ao plano de separação dos meios. Também desprezaremos quaisquer tensões superficiais. A gravidade local vale g.

a) Escreva as condições sobre a velocidade do fluido e a pressão na interface.

Dica

A pressão e a velocidade normal à interface são iguais em abos os fluidos. Para a velocidade tangencial, basta que sua derivada seja nula na interface (condição de stress nulo)..

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b) Use a segunda lei de Newton (ou a equação de Euler sem o termo convectivo) para relacionar a pressão com o potencial de velocidades em um dado fluido.

Dica

Resposta: P=\rho \dfrac{ \partial \phi}{\partial t}

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c) Substituindo as condições acima na equação de Laplace, ache relação entre \omega e k para a perturbação (essa é a relação de dispersão). Qual a condição para que a perturbação seja instável?

 

8) A formação de uma onda que quebra

Uma onda é formada em alto mar com uma certa amplitude A_{0} e um comprimento de onda \lambda_{0}. Em alto mar, a profundidade da água é essencialmente infinita, mas, ao se aproximar da costa, o assoalho oceânico vai ficando cada vez mais raso. Considere que a profundidade do mar em função da distância a costa é dada por H(x)= \beta x, até um certo x_{f} a partir do qual ela se torna constante. A gravidade vale g e a densidade da água vale \rho.

a) Use o formalismo do potencial de velocidades para achar o potencial de velocidades dessa onda. Calcule a energia mecânica média contida em um comprimento de onda em mar aberto.

Dica

Use que a pressão agindo na superfície é constante (é a pressão atmosférica, claro, mas você pode supor que é zero que as contas serão mais fáceis). Será util usar que \dfrac{\partial h}{\partial t}=\dfrac{\partial \phi}{\partial z} em z=h \approx 0.

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b) Se o terreno for suficientemente suave, o trajeto da onda é adiabático. Ache uma expressão para a energia mecânica média da onda a uma distância x da costa. Atenção: a água não é mais tão profunda, e isso modifica a relação de dispersão por meio das condições de contorno. Como o \omega é constante, o comprimento de onda não é mais o mesmo.

Dica

Use que a energia da onda se conserva.

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c) Ache a amplitude da onda em função de A_{0}, \lambda_{0}, x e constantes.

Um modelo matemático capaz de abarcar ondas que quebram deve ser fortemente não linear, e portanto o melhor que podemos fazer aqui é estimar.

d) Determine a velocidade de fase V_{ph} da onda em função de x.

e) Estime uma relação entre A(x) e V_{ph}(x) e outras constantes do problema para que a onda quebre.

 

9) Deflagração de chamas - Combustão lenta

Um assunto bastante interessante é a hidrodinâmica da propagação de uma combustão de uma gás inflamável. Quando a combustão não é de natureza explosiva, a chama se propaga quando, por condução térmica, o calor gerado pelo fogo incendeia o combustível ainda não queimado de suas vizinhanças. Quando o mecanismo de ignição é a condução de calor, é sempre o caso em que a frente da chama se propaga em velocidades muito pequenas quando comparada à velocidade do som. Contudo, lembre-se que o gás queimado e o gás não queimado são quimicamente distintos: é isso que diferencia o estudo de deflagrações e detonações de outros escoamentos hidrodinâmicos. Seja os índices adiabáticos \gamma_{1} e \gamma_{2}, os calores molares a pressão constante c_{p1} e c_{p2} e o calor molar liberado pela combustão q. Seja a descontinuidade entre o gás em ignição e o gás ainda não queimado o plano em que z=0. Trabalhe no referencial dessa descontinuidade, que se move com velocidade c em direção ao gás não queimado. Particularmente, essa velocidade é desprezível em relação a velocidade do som.

a) Prove que a conservação do fluxo de energia diz que:

h_{1}+\dfrac{1}{2} v_{1}^2 = h_{2}+\dfrac{1}{2} v_{2}^2

Em que h é a entalpia por unidade de massa de cada lado da interface e as velocidades são as velocidades relativas entre o gás e a frente de deflagração.

Dica

Essa é basicamente a expressão para a conservação de energia mecânica, análoga a dedução da equação de Bernoulli. Você vai ter que usar que a densidade não sofre descontinuidades, e portanto haverá uma cancelamento devido a conservação do fluxo de massa.

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b) Escreva as três leis de conservação hidrodinâmica: fluxo de massa, fluxo de momento e fluxo de energia.

Dica

Lembre-se que um fluxo é, tipicamente, uma densidade multiplicada por uma velocidade. Por exemplo, o fluxo de energia cinética seria \dfrac{\rho v^2}{2} \times v

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c) Ache a temperatura T_{2} do gás em ignição se o gás não queimado está (aproximadamente) em repouso no referencial do laboratório.

Dica

Use os itens a e b e escreva a entalpia em função do calor molar a pressão constante e da temperatura

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10) A hidrodinâmica das detonações e de processos explosivos

Ondas de detonação são aquelas que acompanham processos explosivos, e, embora muito similares a ondas de choque convencionais, possuem diferenças fundamentais em relação a essas. A razão para isso é que o gás antes e depois da onda de detonação é quimicamente distinto. Em termos mais físicos, a função de entalpia é diferente. Nessa questão, vamos elaborar um pouco sobre as características de ondas de detonação. A diferença fundamental entre uma detonação e uma deflagração é que, na detonação, a onda de choque que é responsável pela ignição do gás. Cuidado: ao longo dessa questão falaremos de adiábatas de choque e de detonação, mas, a despeito do nome igual, elas não tem muito a ver com as adiábatas convencionais que você conhece.

Ao longo dessa questão, o índice 1 se refere ao gás ainda não detonado e o índice 2 ao gás já detonado. Trataremos das velocidades do gás no referencial da onda de detonação. Suponha conhecidos os índices adiabáticos (\gamma_{1}, \gamma_{2}) e calores específicos do gás antes e depois da combustão (c_{v,1}, c_{v,2}). O calor liberado na combustão por unidade de massa é q quando T=0 (isso pode soar estranho de início, mas é porque a função de entalpia h depende da temperatura, e a energia química é a entalpia no zero absoluto; essa constante q será importante a despeito de sua definição "estranha").

 

O Pico de Neumann

Uma detonação é sempre precedida por uma onda de choque convencional, que é responsável por comprimir e aquecer o gás, dando início à ignição. Após um curto período de tempo, a reação química de combustão se desenrola e o gás relaxa para seu estado final detonado. Esse pico de pressão imediatamente após a onda de choque e imediatamente antes da combustão se chama pico de Neumann.

a) Use as equações de conservação de fluxo de massa e de momento para provar a relação da reta de Rayleigh:

-j^2=\dfrac{p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}

Em que j é o fluxo de gás em direção a onda de detonação (gás detonado por área por tempo), p é a pressão do gás e V é seu volume específico (o recíproco da densidade).

Dica

Note que j=\dfrac{v_{1}}{V_{1}}=\dfrac{v_{2}}{V_{2}}

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Para um dado fluxo j, a pressão do pico de Neumann é, portanto, a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata de choque (curva tracejada na figura abaixo):

 

 

b)  Ache a equação da adiábata de choque que passa pelo ponto (p_{1},V_{1})

Dica

Substitua v = jV em h_{1}+\dfrac{1}{2} v_{1}^2 = h_{2}+\dfrac{1}{2} v_{2}^2 e use que a entalpia por unidade de volume é h = u +pV = c_{v} T +pV, com V=\dfrac{1}{\rho} como usual. Use também a equação de estado de um gás ideal.

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c) Ache o valor da pressão do pico de Neumann em função do fluxo j.

Dica

Avalie a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata acima

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Para um gás ser capaz de explodir, é necessário que o pico de Neumann no ponto de Chapman-Joguet seja suficiente para superar a energia de ativação da reação de combustão. Estudaremos sobre esse ponto a seguir.

 

A reação química e o ponto de Chapman-Joguet

Se a pressão (e correspondente temperatura) do pico de Neumann for grande o suficiente, o gás entra em ignição por meio de uma reação exotérmica. Então, o gás libera calor, aumentando sua entropia, e seu estado termodinâmico migra ao longo da reta de Rayleigh até cruzar a adiábata de detonação (curva contínua na imagem) pela primeira vez (a segunda intersecção no ponto b não é mecanicamente acessível).

d) Ache a equação da adiábata de detonação. Explique o porquê ela não passa pelo ponto (p_{1},V_{1}).

Dica

Dedução análoga ao item b, mas com calores específicos e índices adiabáticos diferentes dos dois lados da descontinuidade, devido a reação química que ocorre.

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e) Ache o valor do menor fluxo j possível para que a detonação se sustente dado um estado inicial do gás. Prove que, nesse ponto, a velocidade do gás detonado é igual a velocidade do som.

Dica

Esse valor corresponde ao j_{min} tal que a solução para a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata de detonação só tem uma solução.

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f) O  encontro da reta de Rayleigh com essa curva (por exemplo, no ponto c na figura) é o estado final de detonação. Prove que a temperatura do gás detonado no ponto O da figura vale:

T_{2}=\dfrac{c^2_{2}}{c_{v,2} \gamma_{2}(\gamma_{2}-1)}

Você deve ser percebido que os estados finais de detonação acessíveis são aqueles acima do ponto O da figura. Esse ponto se chama ponto de Chapman-Joguet e é extremamente importante para a teoria ds detonações. Como dica, lembre que a velocidade do som no gás 1 é a tangente a curva tracejada no ponto inicial (p_{1},V_{1}).

g) Mostre que para todo estado final de detonação acima do ponto de Joguet, v_{2}<c_{2}. Mostre também que a velocidade da onda de detonação em relação ao gás 1 é sempre supersônica: v_{1}>c_{1}.

Dica

A velocidade do som se relaciona intimamente com a tangente à adiabáta de choque em um dado ponto. Lembre-se de que, ao longo dessas curvas, a entropia é constante e c_{som} = \sqrt{\dfrac{\partial p}{\partial \rho}} nesse caso. Por outro lado, a velocidade do gás é diretamente relacionada com a inclinação da reta de Rayleigh. Sem fazer a conta, já é de se esperar que essas velocidades sejam iguais no ponto de tangência O.

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Como o escoamento atrás da detonação é sempre subsônico (ou exatamente sônico no ponto O), a energia química liberada consegue alcançar a frente de detonação para continuar a impulsionando. Na prática, por um questão de condições de contorno, uma detonação real sempre corresponde ao ponto de Chapman-Joguet. Heuristicamente, podemos interpretar isso como toda a energia do gás sendo gasta para manter a onda de detonação (pense bem e se convença de que é isso que ocorre nesse ponto).

h) Mostre que no caso de uma detonação forte (q>>c_{v,1}T_{1}) vale que:

v_{1}=\sqrt{2(\gamma^2_{2}-1)q}

Combustões com fase endotérmica

Uma reação de combustão é sempre exotérmica. Contudo, ainda é possível que ao longo do caminho reacional sejam formados produtos intermediários que reagem de forma endotérmica, tudo isso com a reação global se mantendo exotérmica, como deve ser. Esse fenômeno altera significativamente a dinâmica da detonação, e é a última parte dessa questão.

i) Suponha que em coordenadas (p^{*}, V^{*}) o gás em combustão começa a absorver calor até chegar ao fim da reação. Faça um gráfico no plano p-V como o da figura acima em que constem: a adiábata de choque, a adiábata de detonação, a reta de Rayleigh e uma adiábata convencional que passa pelo ponto (p^{*}, V^{*}).

j) Responda ao que se pede através de uma análise gráfica:

  • O fluxo mínimo j' é maior ou menor do que em uma detonação convencional?
  • Identifique no gráfico o novo ponto de Chapman-Joguet.
  • Mostre (graficamente) que nesse novo ponto de Joguet o escoamento atrás da detonação é supersônico, ao contrário da detonação convencional.
Dica

Se há uma parte da reação em que dQ >0 e outra em que dQ<0, por continuidade deve haver um ponto na evolução do gás que cruza uma adiábata (dQ=0) em algum ponto (p^{*}, V^{*}). Essa adiábata sempre está acima da curva de detonação,e portanto a presença de fase endotérmica aumenta o fluxo mínimo j_{min} para a detonação acontecer, bem com cria uma novo ponto de Chapman-Joguet, dessa vez com uma tangente (velocidade do som) maior, já que está acima do ponto de Joguet convencional. 

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Boa Sorte!