Lista 07 - Mecânica Quântica - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) O poço quadrado infinito

Um poço quadrado infinito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale V(x)=0 entre x=0 e x=a, e V(x)=\infty fora desse intervalo.

a) Determine a forma geral função de onda de uma partícula de massa m nesse poço.

b) Se \Psi(x,0) = \dfrac{1}{\sqrt{a}} em t=0, determine a probabilidade de que a partícula esteja no estado fundamental em t>0.

Dica

Veja a ideia de mecânica quântica na página do NOIC.

[collapse]

2) O poço quadrado finito

Um poço quadrado finito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale V(x)=-V_{0} entre x=0 e x=a, e V(x)=0 fora desse intervalo. Uma partícula de massa m é dita ligada se sua energia é tal que -V_{0}<E<0.

a) Ache a equação transcendental que fornece as energias possíveis para os estados ligados do poço quadrado infinito.

Dica

Use as condições de contorno para \Psi em cada extremidade do poço.

[collapse]

Por sua vez, se E>0, a partícula é dita estar em um estado de espalhamento. Normalmente, estados de espalhamento podem ser refletidos por potenciais localizados como o poço quadrado finito.

b) Uma partícula com função de onda incidente \psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)} vem do infinito da esquerda para a direita, e, ao encontrar o poço quadrado finito, é refletida: \psi_{r}(x,t)=B e^{i(\omega t +k x)}. Ache o coeficiente de reflexão R=\left(\dfrac{A}{B} \right)^2. Qual a condição para que a reflexão seja garantida?

 

3) A mais alta torre, o mais fundo poço

Para qualquer potencial físico, tanto a função de onda \Psi(x,t) quanto sua derivada \dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} são funções contínuas na coordenada x. Contudo, a segunda dessas condições não vale na presença de singularidades (i.e, divergências) no potencial V(x). Um caso de particular interesse é o potencial delta de Dirac:

V(x)=V_{0} \delta (x), V_{0}>0

No que segue, considere uma função de onda não ligante, E>0.

a) Use a equação de Schrödinger para achar uma expressão para \Delta \left(\dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \right), isto é, o salto da descontinuidade da função de onda ao atravessar essa parede.

Dica

Integre os dois lados da equação de Schrödinger no intervalo [-\epsilon, \epsilon], em que \epsilon é um número arbitrariamente pequeno.

[collapse]

b) Com isso em mãos, determine a probabilidade de que a função de onda \psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)} tunele através dessa parede infinitamente rígida e infinitamente fina.

c) Mostre que se V_{0}<0, essa probabilidade se mantém inalterada. Interprete isso fisicamente.

 

4) O oscilador harmônico quântico - Operadores de escada

O potencial harmônico dado por V(x)=\dfrac{1}{2} m \omega^2 x^2 é um dos mais onipresentes em toda a física. Particularmente, no mundo clássico ele dá origem às ondas, pêndulos, sistemas massa-mola e muitos outros fenômenos. Contudo, é na mecânica quântica que ele mais brilha: é dele que vem os fótons, fônons e quase toda excitação que se modela é feita com a superposição de osciladores harmônicos quânticos. Uma importantíssima propriedade do OHQ é a discretização de seus níveis de energia ser espaçada igualmente:

E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right)

Nessa questão, vamos chegar nesse resultado de duas formas diferentes.

a) Escreva o operador Hamiltoniano \hat{H}. Definindo os operadores abaixo:

\hat{a}_{-}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(i \hat{p} + m \omega x)

\hat{a}_{+}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(-i \hat{p} + m \omega x)

Escreva \hat{H} em função do produto desses operadores e constantes. Lembre-se que \hat{p}=i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x}.

Esses operadores são chamados de operadores de escada, por causa da propriedade que provaremos a seguir:

b) Prove que se \psi é solução da equação de Schrödinger com energia E, então \hat{a}_{+} \psi é também solução, mas com energia E+\hbar \omega.

Similarmente, se \psi é solução da equação de Schrödinger com energia E, então \hat{a}_{-} \psi é também solução, mas com energia E-\hbar \omega. Contudo, energias negativas são proibidas! (Por que?). Logo, deve existir um estado fundamental \psi_{0} tal que \hat{a}_{-} \psi_{0} = 0.

c) Ache \psi_{0} e sua energia E_{0}. Com isso, prove que E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right), em que n é o n-ésimo degrau da "escada".

Dica

[Como o operador \hat{a}_{-} sempre faz a energia cair, o estado fundamental deve ser tal que \hat{a}_{-} \Psi_{0} =0

[collapse]

5) A expansão súbita

Existem situações em que o potencial ao qual uma partícula está sujeita muda tão bruscamente que a partícula "não percebe". Em termos físicos, o tempo característico da mudança é muito menor que o do movimento da partícula. Nesse caso, a função de onda da partícula antes e depois da mudança é a mesma.

Inicialmente, considere uma partícula de massa m no estado fundamental de um poço quadrado infinito de largura L.

a) Escreva a função de onda normalizada da partícula.

Em um certo momento, esse poço expande subitamente, e sua largura vai de L à 2L. A função de onda da partícula é a mesma, mas agora ela não mais corresponde ao estado fundamental do novo poço. Mais ainda, ela agora nem sequer é um autoestado do novo poço, mas sim uma combinação linear de (possivelmente) infinitos novos autoestados.

b) Prove que a probabilidade da partícula acabar no n-ésimo estado excitado do novo poço é dada por:

P(1 \rightarrow n)=\displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \psi_{1}(x) \psi^{'}_{n}(x) dx}

Em que  \psi^{'}_{n}(x) é o n-ésimo autoestado do novo poço. Calcule essa probabilidade para n=1 e n=2.

Dica

Quando o poço expande de forma suficientemente rápida, a função de onda da partícula permance inalterada.

[collapse]

c) Calcule de forma exata o trabalho feito pelo agente que promoveu a expansão do poço.

Dica

Pode ser útil usar que \langle E \rangle = \displaystyle{\sum \limits_{n=1}^{\infty} |c_{n}|^2 E_{n}}

[collapse]

6) Teoria das perturbações

Uma das técnicas mais poderosas da mecânica quântica é a teoria das perturbações, em que se superpõem ao Hamiltoniano inicial H_{0} uma perturbação H'. Seja um parâmetro \lambda uma maneira de "ligar" a perturbação, de modo que \lambda=0 é o estado original e \lambda=1 o estado perturbado:

H=H_{0}+\lambda H'

Vamos escrever a função de onda e a energia da partícula como uma expansão em potências de \lambda, com o primeiro termo sendo os originais do sistema não perturbado:

\psi=\psi_{0}+\lambda \psi_{1} + \lambda^2 \psi_{2} + ...

E=E_{0}+\lambda E_{1} + \lambda^2 E_{2} + ...

a) Prove que, em primeira ordem em \lambda, E_{1} = \langle \psi_{0} | H' | \psi_{0} \rangle. Ou seja, a primeira perturbação da energia é o valor esperado da perturbação no estado original.

Dica

Substitua as séries de potência acima na equação H \Psi = E \Psi e colete todos os termos de ordem 1 em \lambda

[collapse]

b) Ache a perturbação em primeira ordem do estado fundamental de um poço quadrado infinito quando se liga uma rampa V'(x)=\beta x.

c) Determine \psi_{1}. Qual é a correção na função de onda do estado fundamental do item anterior?

Dica

Procedimento análogo ao item a.

[collapse]

7) Ligando um campo elétrico

Uma partícula de massa m e carga q está no estado fundamental de uma oscilador harmônico quântico. É um fato conhecido que a função de onda do estado fundamental do OHQ é uma gaussiana: \psi(x) = A e^{-\alpha x^2}.

a) Determine A, \alpha e a energia do estado fundamental.

Dica

Para achar \alpha, substitua a expressão acima na equação de Schrödinger. Para achar A, normalize a função de onda.

[collapse]

Então, liga-se um campo elétrico de módulo D ao longo da direção x.

b) Qual o novo Hamiltoniano?

Dica

Basta somar o potencial elétrico V=-qDx

[collapse]

c) Use uma fatoração conveniente e ache, de forma exata, a nova energia do estado fundamental.

Dica

O truque é completar o quadrado no Hamiltoniano. Isso vai gerar um desvio na posição de equilíbrio e um novo termo constante. Resposta: E'_{n} = \hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{q^2 D^2}{m^2 \omega^{4}}

[collapse]

d) Se o tempo característico dessa mudança é muito menor que \dfrac{1}{\omega}, determine a probabilidade da partícula continuar no estado fundamental após ligarmos o campo elétrico.

Dica

Use a ideia da questão 5 dessa lista.

[collapse]

8) Não tão livre para girar

Uma molécula de momento de inércia J e momento de dipolo elétrico p  gira livremente em um plano, sua equação de Schrödinger sendo:

\dfrac{-\hbar^2}{2 J} \dfrac{d^2 \psi(\phi)}{d \phi^2} = E \psi(\phi)

a) Ache a função de onda e energia de cada estado n.

Dica

A quantização das energias vem da exigência de haver invariância rotacional: \psi(\phi)=\psi(\phi+2\pi)

[collapse]

b) Ache a correção para a energia do estado fundamental (em segunda ordem) quando se liga um campo elétrico nesse plano de módulo D. Note que a correção de primeira ordem é nula.

Dica

Extenda o resultado do problema 6 para a perturbação campo-dipolo H'= pD \cos(\phi) em segunda ordem. Para isso, você terá que calcular primeiro a correção para a função de onda em primeira ordem (agora não basta apenas saber a função de onda no estado não perturbado).

[collapse]

9) Juntando as peças

a) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos livres a uma temperatura T.

Dica

Escreva a função de partição de um oscilador harmônico e a eleve ao número de osciladores do gás, N. Vale a pena lembrar resultados da lista de termodinâmica.

[collapse]

Não é apenas o potencial V(x) que pode sofrer perturbações! A energia cinética também pode ser expandida em potências de \dfrac{v}{c} para aproximações relativísticas (cuidado, essa versão da mecânica quântica não suporta relatividade, isso é apenas uma aproximação). Agora, usando teoria da perturbação em primeira ordem na energia:

b) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos relativísticos livres a uma temperatura T.

Dica

Expanda o fator de Lorentz em uma série de Taylor, aborte a série no segundo termo e use teoria das perturbações para achar as novas energias. Então, proceda como no item a

[collapse]