Lista 1 - Mecânica Clássica

Escrita por Vinicius Névoa

1) Quiques periódicos

Uma bola de borracha de momento de inércia I e massa m colide com o chão horizontal com uma velocidade v=(v_{x},v_{y}) e certa velocidade angular \omega paralela ao chão. O coeficiente de atrito estático entre a bola e o chão vale \mu, e a colisão é perfeitamente elástica. Ache a condição para que a velocidade da bola logo após a n-ésima colisão seja v=((-1)^nv_{x},v_{y}), isto é, para que ela quique sempre nos mesmos dois pontos no espaço.

Dica

Relacione a variação de momento linear na vertical com aquela na horizontal. Cuidado: se a velocidade angular também não for simetricamente alterada após cada quique, o próximo quique pousará no lugar errado

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2) Um histograma relevante

Uma partícula relativística de massa M e velocidade V em relação ao sistema do laboratório decai espontaneamente em duas partículas de massas m_{1} e m_{2}. Ache a distribuição de energia de uma delas em função dos parametros em negrito e constantes da natureza. Nota: a distribuição de energia é a função \Omega(E) que diz a probabilidade da partícula-filha ter energia entre E e E+dE. É interessante pensar no referencial do centro de massa do sistema.

Dica

No referencial do centro de massa, por simetria, o decaimento é isotrópico. Ou seja, toda direção é equiprovável para ser a reta suporte dos momentos lineares do par de partículas formado. Use a transformação de Lorentz para relacionar as quantidades que no referencial do CM são conhecidas com aquelas que você quer achar.

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3) Um barulho bem agudo

Vamos investigar um aparente paradoxo. Uma moeda de massa m e raio R cai no chão e começa aquela típica “dança” em que a moeda se inclina em relação ao chão por um certo ângulo \alpha e seu ponto de contato traça um círculo sem deslizar. Considere que o seu centro de massa está em repouso:

a) Calcule a velocidade angular com que o ponto de contato traça seu movimento circular na mesa.

A medida que a energia vai sendo dissipada, o som vai ficando mais agudo, uma vez que a velocidade angular acima diverge em \alpha = 0. Mas se a energia está sendo dissipada, como há uma velocidade angular aumentando arbitrariamente?

b) Calcule a energia total do sistema em função de \alpha e explique o que está acontecendo.

Dica

Se um disco girante tem seu centro de massa e algum outro ponto em repouso, então é porque seu vetor velocidade angular passa por esse par de pontos. Com isso em mente, vá para o referencial em que o ponto de contato do disco com o chão está em repouso.

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4) Uma questão (quase) clássica

Uma esfera oca de massa m e raio R é completamente preenchida por um líquido de densidade \rho e viscosidade nula, e não há atrito entre o líquido e a superfície interna da esfera. Esta esfera é posta sobre uma mesa que gira com velocidade angular constante \Omega ao redor do seu centro, e cujo atrito estático em relação a esfera é suficiente para que nunca haja deslizamento. Determine:

a) A frequência angular com a qual ela percorrerá essa trajetória.
b) A trajetória que a esfera fará na mesa em função da sua posição inicial \vec{r_{0}} e velocidade inicial \vec{v_{0}}

Dica

Se não há atrito entre o líquido e a esfera, então ele contribui para a massa do sistema, mas não para o momento de inércia. Nessa questão, é imprescíndivel trabalhar com a forma vetorial das quantidades envolvidas (torque, momento angular, força...)

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5) Treinando para ser Sniper

Quando um objeto cai a partir do repouso de uma certa altura na superfície da Terra, ele se desvia da trajetória perfeitamente vertical devido à ação de forças inerciais. Considere um objeto caindo de uma altura H, em uma latitude \theta. Sendo \Omega a velocidade angular da Terra e g a gravidade local, determine:

a) O desvio ao leste que o objeto sofrerá
b) O desvio ao sul que ele sofrerá em função desse desvio ao leste

Dica

Use que a força de Coriolis é dada por F_{c}=2m \vec{v} \times \omega

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6) Rota de colisão

Uma extensa chuva de meteoros, de dimensões muito maiores que o raio da Terra, está vindo em direção ao nosso planeta. Sendo M e R a massa e o raio da Terra, n a densidade de meteoros na chuva (número de meteoros por unidade de área de secção transversal, quando no infinito), cada qual com massa m muito menor que M e dimensão desprezível, e v a velocidade que eles possuem no infinito, ache a energia térmica total que nosso planeta receberá caso todas as colisões sejam inelásticas.

Dica

Ache o menor parâmetro de impacto que tem um periélio maior que R: todos os outros colidem com a terra.

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7) Muito rápido para cair

É sabido que um pião com velocidade angular muito baixa não para em pé. Seja um pião cilindricamente simétrico, com momento de inércia ao longo do eixo de simetria dado por I_{3}, e ao longo dos outros dois eixos dado por I, sendo M a massa total, s a distância do CM em relação ao ponto de contato com a mesa que é fixo. Qual a menor velocidade angular ao redor do seu eixo de simetria para que ele seja estável quando inclinado de um ângulo \theta em relação à vertical?

Dica

Desenhe os vetores momento angular e tome sua projeção na horizontal, afinal o torque da força gravitacional só afeta o componente horizontal do momento angular.

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8) Um equilíbrio insólito

Um pêndulo simples possui dois pontos de equilíbrio: \theta=0 e \theta=\pi. Contudo, esse último ponto de equilíbrio é instável. Curiosamente, é possível torna-lo estável se o ponto de suporte do pêndulo oscilar verticalmente muito rápido!
Seja um pêndulo simples de massa m e comprimento L, e a posição do ponto de apoio sendo Y(t)=Asin(\lambda t). Considere A<<L e \lambda>>\sqrt{\dfrac{g}{L}}. Ache a condição para que a posição \theta=\pi seja um equilíbrio estável.

Dica

Decomponha o ângulo que o pêndulo faz com a vertical em uma soma de um componente que varia muita rapidamente com um que varia mais lentamente; expanda senos e cossenos da soma desses angulos e tome as médias temporais apropriadas.

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9) Histerese em osciladores não lineares

Um oscilador anarmônico pode apresentar histerese quando existir uma certa faixa de frequências para as quais existe mais de uma amplitude possível. Quando isso ocorre, a amplitude real dependerá da frequência estar aumentando ou diminuindo, obedecendo a continuidade da curva (algo semelhante a questão de circuitos da IPhO 2016).

a) Para um oscilador harmônico de frequência natural \omega_{0}, amortecido por uma força resistiva F_{dissipativa}=\gamma \dot{x} e impulsionado por uma força F=F_{0}cos(\omega t), ache a amplitude do seu movimento A(\omega) e esboce essa curva.

b) Consideraremos agora o sistema perto da sua ressonância (da amplitude). Simplifique a expressão acima usando \omega=\omega_{0}+\epsilon, \dfrac{\epsilon}{\omega_{0}} << 1. Despreze termos da ordem de O(\gamma^2\epsilon), sob a hipótese de amortecimento fraco.

c) Considere agora que o oscilador é anarmônico: F_{restauradora}=k x+\alpha x^2+\beta x^3. Isso faz com que a frequência natural dependa do quadrado da amplitude somado à frequência natural anterior: \epsilon_{anarmonico}=\epsilon_{harmonico}+\kappa A^2 (A demonstração disso é matematicamente acessível, mas não é necessária para os nossos propósitos). Substitua a nova expressão no resultado da letra b. Esse coeficiente \kappa pode ser obtido em função de (k, \alpha, \beta)

É possível usar a equação do item b para o item anterior porque, para anarmonicidades pequenas, a forma das equações de movimento se preserva em até segunda ordem. O que muda são as constantes envolvidas.

Dependendo da amplitude F_{0} da força externa, a expressão A(\epsilon) para a amplitude de oscilação perto da ressonância deixa de ser uma função:

Legenda: Amplitude da oscilação b (no nosso caso, A) versus desvio a partir da ressonância \epsilon.

d) Ache a expressão para as frequências \epsilon^- e \epsilon^+ que delimitam o ciclo de histerese BCED da figura c. O trecho pontilhado CD é instável e, portanto, não ocorre experimentalmente.

e) Qual é a menor amplitude F_{c} da força externa para que exista o ciclo de histerese BCED?

Dica

Os pontos de quebra do ciclo de histerese, como pode ser visto pelo gráfico, são aqueles em que \dfrac{d A}{d \epsilon} diverge. Você deve primeiro achar um polinômio em A através dos itens anteriores.

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Boa Sorte!