Física - Semana 115

Escrito por Paulo Henrique

Iniciante

Duas partículas são lançadas de um mesmo ponto, em uma grande altitude, com velocidade iguais de mesmo módulo $V_0$ que formam respectivamente ângulos $\alpha$ e $\beta$ com a horizontal, sendo que uma delas foi lançada para a esquerda e a outra, para direita. Se a gravidade local é $g$, determine a distância entre as partículas após um intervalo de tempo $\delta{t}$ desde o momento do lançamento.

Intermediário

Uma bomba a vacúo tem a capacidade de manter a pressão numa câmara com pressão $P_c.$ Considere que a bomba seja então conectada a uma câmara de volume $V$ através de um conector circular de raio $R$. Quanto tempo a bomba de vácuo demora para evacuar esta câmara, inicialmente na pressão atmosférica $P_0$ ($P_0>P_c$). Considere que a temperatura permanece constante e que a velocidade média das moléculas de gás é $<v>$ e que, nas condições do problema, o caminho livre médio é muito menor que a abertura em que a bomba é conectada à câmara.

Avançado

Parte A: Princípio de Fermat

Nesse problema, invetigaremos a refração de um raio de luz em um meio não isotrópico. Para isso, o aluno deve conhecer o famoso principio de Fermat. Considere dois pontos do espaço $A$ e $B$. O princípio afirma que a trajetória de um raio de luz entre esse dois pontos será tal que o caminho óptico desse raio é extremo, ou seja, é mínima, máximo ou estacionário (invariante sob pertubações da trajetória em primeira ordem). Seja $n$ o índice de refração do meio, que pode variar com a posição (isto é, o meio pode ser não homogêneo), o tempo $\tau$ que leva para um raio de luz viajar de $A$ para $B$ é dado por:

$$\tau=\dfrac{1}{c}\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds$$

Onde $ds$ é a variação infinitesimal do vetor deslocamento (seu módulo, é claro). Na expressão acima, $L_{OP}\equiv{\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds}$ é o caminho óptico do raio. O princípio afirma que $L_{OP}$ é extremo, ou seja, se é feito uma variação infinitesimal dessa integral, essa quantidade será nula sempre (isso que significa o "extremo"). Isso quer dizer, que se a trajetória real do raio é $ACB$ (veja a figura abaixo) e a trajetória $AC'B$ seja uma trajetória ficcticia que levaria $\tau'$, $\tau$ é maior, menor ou igual a $\tau'$ para todos os caminhos próximos (extremo localizado) de trajetória como $AC'B$. Esse princípio é a base da óptica clássica e sua dedução pode ser obtida através das equações de Maxwell do eletromagnetismo.

a) Considere um meio homogêneo, ou seja, $n$ é constante e igual a $n_0$ em todo o espaço. Dados dois pontos no espaço $A$ e $B$, qual trajetória é descrita pelo raio? Faça isso a partir do princípio de Fermat.

b) Considere que um raio de luz refrate na interface de dois meios de índices de refração $n_1$ e $n_2$. A partir do princípio de Fermat, prove que a relação entre os ângulos de incidência e de refração é:

$$n_1\sin{{\theta}_1}=n_2\sin{{\theta}_2}$$

Parte B: Refração em um meio não isotrópico

Um meio isotrópico é meio em que suas propriedades são as mesmas em todas as direções. Nessa parte, investigaremos a refração de um raio na interface de dois meio homogêneos, sendo o segundo não isotrópico. É possível mostrar que quando um raio atinge um meio não isotrópico, ele é dividido em dois raios, o raio extraordinário e o ordinário. O ordinário tem velocidade igual para todas as direções, portanto, obedece a lei de Senell. Já o extraordinário, como o nome já diz, possui velocidade diferentes para diferentes direções. É possível mostrar que a equação que relaciona o índice de refração com a direção é a seguinte (ver figura abaixo):

$$n^2(\theta)=n_0^2\cos^2{\theta}+n_e^2\sin^2{\theta}$$

Onde $n_0$ e $n_e$ são constantes e $\theta$ é o ângulo entre a direção de propagação do raio e o eixo óptico. Agora, considere o sistema abaixo, onde o meio acima é homogêneo e isotrópico de índice de refração $n_1$ e o segundo é o meio não isotrópico cujo índice de refração é dado pela relação do raio extraordinário. O raio, dado que viajará do ponto $A$ ao ponto $B$, seguirá uma trajetória específica.

c) Determine a relação entre o ângulo de refração e indidência para esse sistema.