Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
Duas partículas são lançadas de um mesmo ponto, em uma grande altitude, com velocidade iguais de mesmo módulo $$V_0$$ que formam respectivamente ângulos $$\alpha$$ e $$\beta$$ com a horizontal, sendo que uma delas foi lançada para a esquerda e a outra, para direita. Se a gravidade local é $$g$$, determine a distância entre as partículas após um intervalo de tempo $$\delta{t}$$ desde o momento do lançamento.
Intermediário
Uma bomba a vacúo tem a capacidade de manter a pressão numa câmara com pressão $$P_c.$$ Considere que a bomba seja então conectada a uma câmara de volume $$V$$ através de um conector circular de raio $$R$$. Quanto tempo a bomba de vácuo demora para evacuar esta câmara, inicialmente na pressão atmosférica $$P_0$$ ($$P_0>P_c$$). Considere que a temperatura permanece constante e que a velocidade média das moléculas de gás é $$<v>$$ e que, nas condições do problema, o caminho livre médio é muito menor que a abertura em que a bomba é conectada à câmara.
Avançado
Parte A: Princípio de Fermat
Nesse problema, invetigaremos a refração de um raio de luz em um meio não isotrópico. Para isso, o aluno deve conhecer o famoso principio de Fermat. Considere dois pontos do espaço $$A$$ e $$B$$. O princípio afirma que a trajetória de um raio de luz entre esse dois pontos será tal que o caminho óptico desse raio é extremo, ou seja, é mínima, máximo ou estacionário (invariante sob pertubações da trajetória em primeira ordem). Seja $$n$$ o índice de refração do meio, que pode variar com a posição (isto é, o meio pode ser não homogêneo), o tempo $$\tau$$ que leva para um raio de luz viajar de $$A$$ para $$B$$ é dado por:
\[\tau=\dfrac{1}{c}\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds\]
Onde $$ds$$ é a variação infinitesimal do vetor deslocamento (seu módulo, é claro). Na expressão acima, $$L_{OP}\equiv{\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds}$$ é o caminho óptico do raio. O princípio afirma que $$L_{OP}$$ é extremo, ou seja, se é feito uma variação infinitesimal dessa integral, essa quantidade será nula sempre (isso que significa o “extremo”). Isso quer dizer, que se a trajetória real do raio é $$ACB$$ (veja a figura abaixo) e a trajetória $$AC’B$$ seja uma trajetória ficcticia que levaria $$\tau’$$, $$\tau$$ é maior, menor ou igual a $$\tau’$$ para todos os caminhos próximos (extremo localizado) de trajetória como $$AC’B$$. Esse princípio é a base da óptica clássica e sua dedução pode ser obtida através das equações de Maxwell do eletromagnetismo.
a) Considere um meio homogêneo, ou seja, $$n$$ é constante e igual a $$n_0$$ em todo o espaço. Dados dois pontos no espaço $$A$$ e $$B$$, qual trajetória é descrita pelo raio? Faça isso a partir do princípio de Fermat.
b) Considere que um raio de luz refrate na interface de dois meios de índices de refração $$n_1$$ e $$n_2$$. A partir do princípio de Fermat, prove que a relação entre os ângulos de incidência e de refração é:
\[n_1\sin{{\theta}_1}=n_2\sin{{\theta}_2}\]
Parte B: Refração em um meio não isotrópico
Um meio isotrópico é meio em que suas propriedades são as mesmas em todas as direções. Nessa parte, investigaremos a refração de um raio na interface de dois meio homogêneos, sendo o segundo não isotrópico. É possível mostrar que quando um raio atinge um meio não isotrópico, ele é dividido em dois raios, o raio extraordinário e o ordinário. O ordinário tem velocidade igual para todas as direções, portanto, obedece a lei de Senell. Já o extraordinário, como o nome já diz, possui velocidade diferentes para diferentes direções. É possível mostrar que a equação que relaciona o índice de refração com a direção é a seguinte (ver figura abaixo):
\[n^2(\theta)=n_0^2\cos^2{\theta}+n_e^2\sin^2{\theta}\]
Onde $$n_0$$ e $$n_e$$ são constantes e $$\theta$$ é o ângulo entre a direção de propagação do raio e o eixo óptico. Agora, considere o sistema abaixo, onde o meio acima é homogêneo e isotrópico de índice de refração $$n_1$$ e o segundo é o meio não isotrópico cujo índice de refração é dado pela relação do raio extraordinário. O raio, dado que viajará do ponto $$A$$ ao ponto $$B$$, seguirá uma trajetória específica.
c) Determine a relação entre o ângulo de refração e indidência para esse sistema.
