Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
Girando rápido demais
Estrelas de nêutrons são corpos celestes formados por nêutrons que estão gravitacionalmente ligados. Esses objetos giram de forma bastante rápida; no entanto, ainda existe um limiar teórico para a rotação da estrela, de tal forma que sua massa não se desprenda pelo Equador. Mostre então que a máxima frequência de rotação admitida para a estrela é
$$f= \sqrt{\dfrac{ G \rho}{3 \pi}}$$
considerando um modelo no qual essa estrela é uma esfera com densidade uniforme $$\rho = 7,0 * 10^{17}$$ $$kg/m^3$$. Calcule também seu valor numérico nesse caso.
A constante gravitacional universal vale $$G= 7,0 * 10^{-11}$$ $$m^3/kg *s^2$$.
Tome $$\pi = 3$$.
Intermediário
Tchau, Terra
Devido às reações termonucleares no interior do nosso Sol, há uma constante liberação de energia. A famosa “equação de Einstein” expressa a equivalência entre massa e energia, mediante
$$\Delta E= \Delta mc^2$$,
sendo $$\Delta E$$ a energia liberada, $$\Delta m$$ a massa associada à esse processo, e $$c$$ a velocidade da luz no vácuo. Dessa forma, o sol também perde massa nesse processo, o que ocasiona um aumento (quase imperceptível) no raio orbital da Terra. Determine, então,
$$a)$$ a quantidade de massa perdida pelo Sol em $$1$$ segundo, em $$kg$$.
$$b)$$ O quanto a Terra se afasta do Sol em um ano! Considere que a órbita da Terra é circular.
Dados:
Raio Orbital da Terra: $$R=1,50 * 10^{8}$$ $$km$$.
Período de Translação da Terra: $$T=3,16 * 10^{7}$$ $$s$$.
Potência irradiada pelo Sol: $$L=3,83 * 10^{26}$$ $$W$$.
Massa do Sol: $$M=2,00 * 10^{30}$$ $$kg$$.
Velocidade da Luz no vácuo: $$c=3,00*10^5$$ $$km/s$$.
Dica (EDIT): Você pode achar útil usar que
$$\left(1+x\right) \left(1+y\right) = 1+x+y$$,
para $$x, y \ll 1$$.
Avançado
Anã Branca
O Princípio da Exclusão de Pauli é responsável por inúmeras propriedades da matéria, tanto pelas que somos mais familiares, e.g. a dureza dos materiais sólidos, como por coisas um pouco mais estranhas, como o comportamento de anãs brancas, que são estrelas bastante densas. Neste problema você é desafiado a obter alguns resultados importantes no estudo dessas estrelas. A matéria em anãs brancas consiste basicamente de elétrons e dos núcleos atômicos, cujos quais são basicamente carbono e oxigênio. Pelo fato de serem neutras a quantidade de prótons e elétrons é a mesma, além disso o número de prótons e nêutrons também é o mesmo devido à composição das estrelas. Neste problema vamos investigar o equilíbrio das anãs brancas que se deve ao resultado tanto da interação gravitacional como da repulsão estatística sofrida pelos férmions (elétrons, prótons e nêutrons) que compõem a estrela.
Parte 1: Energia Cinética da Estrela
Neste problema vamos considerar que as partículas que compõem a estrela são não-relativísticas.
$$a)$$ Para uma dada partícula de massa $$m$$ (nêutron, próton ou elétron), escreva sua energia cinética $$ \epsilon$$ como função de sua massa e do seu número de onda $$k = 2 \pi/ \lambda$$, além de constantes físicas fundamentais, se necessário. Considere agora como modelo da estrela o modelo de uma caixa infinita, i.e. uma caixa cúbica de lado $$L$$ da qual as partículas não podem escapar. Este modelo é análogo a uma corda presa nas extremidades. Neste modelo, cada partícula só pode possuir valores discretos de número de onda $$k$$. O numero de onda é dito quantizado, tanto na direção $$x$$, como nas direções $$y$$ e $$z$$.
$$b)$$ Determine a condição de quantização de $$k_x$$, $$k_y$$ e $$k_z$$ como função de números quânticos $$n_x$$, $$n_y$$ e $$n_z$$ para cada uma das direções.
Como o elétron é a partícula que possui a menor massa, ele é o que mais contribui para a energia cinética total do sistema. Seja $$m_e$$ a massa do elétron e $$m_p$$ a massa dos prótons e nêutrons, consideradas idênticas neste problema.
$$c)$$ Considerando que a massa total da estrela é $$M$$ e que a massa dos elétrons é muito menor que a dos prótons (e nêutrons), determine o número de elétrons $$N$$ contidos na estrela.
$$d)$$ Determine a menor diferença $$\Delta k_i$$ entre os possíveis valores de $$k_i$$ $$(i = x, y, z)$$.
É possível atribuir a cada elétron um cubo de lado $$\Delta k_i$$, calculado no item anterior, no espaço do número de onda. Isso significa que um elétron com número de onda $$\vec{k}=k_x \hat{x} + k_y \hat{y} + k_z \hat{z}$$ ocupa um cubo de lados $$\Delta k_i$$ na posição $$\vec{k}$$, conforme a Figura 1, que ilustra o caso particular de duas dimensões.
A Figura 1 também indica o momento de Fermi, que é o número de onda (momento) do elétron mais energético.
Figura 1: Representação do espaço de número de onda (momento) em duas dimensões. No esquema mostrado o quadrado indica a região que comporta dois elétrons devido ao Princípio da Exclusão de Pauli.
$$e)$$ Supondo que todos os cubos sejam preenchidos desde zero até o momento de Fermi $$k_F$$ com no máximo dois elétrons por cubo, determine o valor do momento de Fermi $$k_F$$ em função da densidade $$n=N/L^3=N/V$$ de elétrons no sistema. Considere que o comprimento $$L$$ é muito grande, e leve em conta que apenas valores positivos de $$k_i$$ $$(i = x, y, z)$$ são permitidos.
$$f)$$ Determine a energia cinética total dos elétrons como função do momento de Fermi e do número de elétrons na estrela.
$$g)$$ Usando o resultado do item prévio, expresse a energia cinética total dos componentes da estrela como função de sua massa $$M$$ e raio $$R$$. Para tanto, considere que o volume $$V$$ agora corresponde ao volume da estrela esférica.
Parte 2: Energia Potencial
Considere agora que a massa da estrela seja totalmente devida aos prótons e nêutrons. Isso serve para dizer que os elétrons não contribuem com o mecanismo de atração gravitacional interna que a mantém a estrela viva.
$$h)$$Determine a energia potencial gravitacional da estrela como função de sua massa $$M$$ e de seu raio $$R$$.
$$i)$$ Esboce o gráfico da energia total da estrela como função de seu raio $$R$$.
$$j)$$ Qual dos mecanismos (gravidade ou repulsão estatística) é mais importante quando o raio $$R$$ da estrela é pequeno e quando $$R$$ é grande?
$$k)$$ Determine o raio de equilíbrio estável $$r_0$$ da estrela.
Suponha agora que de alguma maneira seja possível comprimir ligeiramente toda a massa da estrela e diminuir seu raio para $$r_0 -\Delta r$$, com $$\Delta r/r_0 \ll 1$$, mantendo a densidade uniforme.
$$l)$$ A estrela executará oscilações radiais? Caso afirmativo, calcule a frequência angular dessas oscilações.