Física - Semana 143

Esta semana consiste de problemas de análise de dados. Caso precise de ajuda no assunto ou necessite consultar informações, acesse o Guia Noic de Física Experimental clicando aqui. Para um resumo com regras e instruções a serem preferencialmente seguidas em experimentação e análise de dados nos problemas clique aqui.

Escrito por Ualype Uchôa

Iniciante

Pêndulo simples

Esse exercício tem como objetivo estimar o valor da aceleração da gravidade local $g$. Para o fazê-lo, Cianopon, um exímio estudante de física, resolve montar um arranjo experimental simples - como sugere o nome -, o pêndulo simples, ilustrado abaixo. Este sistema consiste de uma pequena massa $m$ pendurada na extremidade de um fio leve, cuja outra extremidade é fixada em algum suporte. Deslocando levemente (ângulo inicial de soltura $\theta_0 \leq 10^{\circ}$) a massa pendular da posição de equilíbrio, ela passa a executar pequenas oscilações no plano vertical.

Figura 1: Diagrama de um pêndulo simples

Nas condições explicitadas, o período (menor tempo requerido para a massinha retornar à uma mesma posição) do movimento é independente da massa pendular e vale

$T=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$,          $(1)$

sendo $L$ o comprimento do fio.

Para realizar o experimento, Cianopon utilizou os seguintes materiais:

• Barbante com comprimento maior que 1 (um) metro;
• Arruelas;
• Cronômetro digital com precisão de um centésimo de segundo;
• Fita métrica com escala milimetrada;
• Fita adesiva;
• Marca-texto.

Cianopon procede da seguinte maneira: inicialmente, com o auxílio do marca-texto e da fita métrica, ele faz marcações espaçadas de 10 cm no barbante para auxiliá-lo a identificar o comprimento do pêndulo. Depois, amarra algumas arruelas à uma das extremidade do mesmo, que servirão de massa pendular. Dessa forma, o estudante pode fixar qualquer outro ponto do barbante que desejar à borda inferior da sua mesa usando a fita adesiva, montando assim o seu pêndulo simples com comprimento ajustável. Feito isso, o jovem desloca levemente o pêndulo do equilíbrio e o põe para oscilar, usando o seu cronômetro para fazer medições de tempo.

$a)$ Cianopon é bastante esperto, e, por isso, resolve não medir diretamente o período, mas sim o intervalo de tempo de 10 (dez) períodos completos, de forma a minimizar as incertezas. Ele mede cinco vezes o tempo requerido para dez oscilações para cinco comprimentos de fio diferentes, um de cada vez. As suas medidas estão explicitadas na tabela abaixo. Escolha um nome apropriado para a tabela e ajude-o a completá-la calculando o tempo médio ($\bar{t}$) de dez períodos em cada caso, com as respectiva incertezas associadas.

Tabela 1: (?)

$b)$ Cianopon está exausto. Agora, a análise de dados é sua responsabilidade. Conforme fora instruído, construa uma nova tabela que contenha os quadrados dos períodos médios $\bar{T}^2$ e os comprimentos de fio utilizados (e também os períodos médios $\bar{T}$, caso deseje), inclua todas as incertezas e explique como você as obteve.

$c)$ Elevando ao quadrado os dois membros da equação $(1)$, obtemos

$T^2=\dfrac{4 \pi^2}{g} \cdot L$         $(2)$

Motivado por isso, construa em papel quadriculado (de preferência milimetrado) um gráfico de $\bar{T}^2$ versus $L$ usando os dados da tabela do item anterior. Lembre-se de incluir as barras de erro.

$d)$ Com o método de sua preferência, trace no seu gráfico a reta ajustada (reta que melhor descreve o comportamento linear dos pontos experimentais) do tipo $y=a+bx$ e calcule os coeficientes linear $a$ e angular $b$ dessa reta com as respectivas incertezas $\Delta a$ e $\Delta b$.

$e)$ A partir do que fora obtido, estime a aceleração gravitacional local $g$ obtida do experimento e sua incerteza $\Delta g$. Compare com o valor esperado $g_{teo}=\left(9,81 \pm 0,02\right)$ $m/s^2$.

Escrito por Paulo Henrique

Intermediário

Calor específico da água

Nesse problema, iremos propor um método para calcular o calor específico da água utilizando um calorímetro didático: uma garrafa de aço inox, que apresenta boa isolação térmica e não é frágil. O experimento consiste basicamente na adição de água á garrafa inox, que, acoplada a uma resistência, troca calor com a água. Dessa forma, com o calor recebido, a água varia sua temperatura continuamente e, a partir da análise dessa mudança, é possível obter um valor para o calor específico da água.

Para a realização do experimento deve-se utilizar os seguintes materiais:

• Calorímetro (garrafa inox)
• Termômetro
• Resistência
• Agitador
• Água

$a)$ A potência elétrica $P$ transferida ao calorímetro através da resistência elétrica pode ser ajustada através de uma fonte de corrente. Ela foi fixada durante todo o experimento no valor de $P=(22,45\pm{0,07})W$. Se $M$ é a massa de água utilizada, $c$ o calor específico da mesma, $C_e$ é a capacidade térmica do calorímetro e $\dfrac{\Delta{T}}{\Delta{t}}\equiv{a}$ é taxa de variação de temperatura da água, determine a relação entre essas quantidades.

$b)$ Como a potência é mantida constante, a temperatura varia linearmente com o tempo, de acordo com a relação:

$T=at+T_0$          $(1)$

Onde $a$ é o coeficiente angular da reta obtida no gráfico $T$ x $t$. A equação $(1)$ pode ser reescrita da seguinte forma:

$y=AM+B$        $(2)$

Onde $y=1/a$. Nesse sentido, se fizermos varias medidas para diferentes valores de $M$, obteremos diferentes coeficiente angular no gráfico $T$ x $t$, e esses coeficiente angulares são funções lineares de $M$. Sendo assim, é possível determinar $c$ e $C_c$ através da análise do gráfico $y$ x $M$.

A tabela $1$ mostra os valores das medidas de temperatura em função do tempo para $M=800g$. Construa um gráfico em papel milímetro de $T$ x $t$ para a primeira tabela somente e, em seguida, complete a segunda tabela com o valor de $a$ para $M=800g$ com o respectivo erro.

Tabela 1: Medidas da temperatura da água em função do tempo

Tabela 2: Valores do coeficiente angular $a$ em função da massa de água $M$

$c)$ Agora, como um bom físico faria, produza uma tabela, com nome apropriado, correlacionando as massas $M$ com os coeficientes $a$ e com os valores de $y=1/a$.

$d)$ Construa, em papel quadriculado (de preferência milimetrado), um gráfico de $y$ versus $M$ usando os dados da tabela do item anterior. Lembre-se de incluir as barras de erro.

$e)$ A partir do método que desejar, obtenha os coeficientes $A$ e $B$ com seus respectivos erros.

$f)$ Obtenha o valor de $c$ e compare-o com o valor tabelado para o calor específico da água nessa faixa de temperaturas.

Escrito por Wanderson Faustino Patricio 

Avançado

Pêndulo físico

Uma das matérias mais cobradas em vestibulares e olimpíadas ao redor do mundo, é o estudo das oscilações harmônicas, o famoso MHS.

Estamos acostumados a trabalhar com massas pontuais sob ação de forças restauradoras, e até sabemos de cor o período de oscilação de alguns casos, como é o exemplo do sistema massa-mola, e o sistema de pêndulo simples, cujos períodos de rotação são: $T_1=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$ e $T_2=2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ respectivamente.

Mas e quando estamos trabalhando com sistemas de corpos extensos?

Bom, nesse caso o resultado é um pouco mais complicado de achar. Para isso precisamos trabalhar com os resultados da dinâmica da rotação, como torque e momento de inércia.

Nesse problema trabalharemos com esses resultados.

PARTE A

Considere uma régua escolar comum, que rotaciona ao redor de um eixo que passa pelo seu centro, de modo que o vetor normal do plano de maior área está paralelo ao vetor velocidade angular (considere a espessura da régua desprezível).

A massa da régua é $m$, sua largura é $a$ é seu comprimento é $b$.

$a)$ Mostre que o momento de inércia da Barra ao redor desse eixo é:

$I=\dfrac{m}{12}\left(a^2+b^2\right)$

(Caso você não saiba calcular momento de inércia pule esse item)

$b)$ Após realizar algumas medidas, o professor Physicson encontrou:

$m=(11,08\pm 0,01)g$; $a=(2,50\pm 0,05)cm$ e $b=(31,00\pm 0,05)cm$

Usando os resultados do professor Physicson, calcule o momento de inércia da régua e sua respectiva incerteza (em unidades do SI).

PARTE B

Considere agora uma fita isolante.

Essa fita possui uma cavidade em sua estrutura, também circular, de maneira que essa fita possui o formato de um anel, ou mais especificamente, um cilindro anelar.

Se a massa dessa fita é $M$, o diâmetro do círculo interno é $d_1$, o diâmetro do círculo externo é $d_2$, e considerando que a densidade do material da fita é constante.

$a)$ Mostre que o momento de inércia da fita ao redor do eixo que passa pelo centro da fita e é paralelo à altura do cilindro anelar é:

$I=\dfrac{M}{8}\left(d_1^2+d_2^2\right)$

(Caso você não saiba calcular momento de inércia pule esse item)

$b)$ Após realizar algumas medidas, o professor Physicson encontrou:

$M=(18,86\pm 0,01)g$; $d_1=(3,70\pm 0,05)cm$ e $d_2=(5,00\pm 0,05)cm$

Usando os resultados do professor Physicson, calcule o momento de inércia da fita e sua respectiva incerteza (em unidades do SI).

PARTE C

Tentando entender um pouco mais sobre a dinâmica de rotação dos corpos, o professor Physicson decidiu fazer um experimento de oscilação com um pêndulo sob ação da gravidade. Para isso, ele perfurou vários buracos ao longo da altura de uma barra de metal, de modo que a distância entre o ponto de apoio para a oscilação e o centro de massa possa ser variado.

Todavia, como ele alterou a distribuição de massa na barra, ele alterou também o momento de inércia dela ao redor do centro de massa, e não mais sabia como calculá-la. Porém, como o momento de inércia só depende da massa do corpo e de sua distribuição, ele decidiu fazer uma analogia para o sistema, como se este fosse uma massa pontual girando ao redor de um centro.

Em sua analogia, ele considerou um raio de rotação equivalente para a barra, de tal forma que que o momento de inércia ao redor do centro de massa pode ser calculado por:

$I_{cm}=mR^2$

Onde $R$ é o raio de rotação.

$a)$ Sendo $d$ a distância entre o ponto de apoio e o centro de massa, prove que o período de oscilação para pequenos ângulos é dado por:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^2+d^2}{gd}}$

(Caso você não saiba calcular momento de inércia pule esse item)

$b)$ Mostre que o período mínimo ocorre para $d=R$.

$c)$ Após algumas medidas, professor Physicson montou a seguinte tabela:

Tabela 01: Medidas de distância e período

Plote um gráfico de período em função da distância, e a partir do gráfico, estime o raio de rotação da barra. Não é necessário calcular a incerteza neste item.

$d)$ Plote um gráfico do produto $d\cdot T^2$ em função de $d^2$.

$e)$ A partir do gráfico obtido no item anterior, calcule a gravidade local, e o raio de rotação da barra, com suas respectivas incertezas (em unidades do SI).