Física - Semana 165

Escrito por Lucas Tavares e Vitória Bezerra Nunes 

Sobre o dia 19/05

$19/05$ ficou marcado em nosso calendário como o Dia Nacional do Físico como uma homenagem ao ano de $1905$, conhecido na física como o ano miraculoso, em que o grande físico Albert Einstein publicou $4$ importantíssimos artigos para a física.

Como essa é uma importantíssima data para a física no Brasil, a equipe de física do NOIC preparou um problema da semana em homenagem a esta data, com problemas inspirados em importantes físicos.

Iniciante

Imagine que Isaac Newton, o famoso cientista que descobriu a lei da gravidade, se depara com um desafio envolvendo uma esfera de vidro com um revestimento de prata em metade de sua superfície. Ele decide investigar e determinar o ângulo de deflexão de um raio de luz que incide na parte não revestida da esfera, mais especificamente no equador. Newton, sempre curioso, quer descobrir em que condições um grupo de raios de luz paralelos, incidentes na metade não revestida do equador com ângulos pequenos de incidência, pode emergir da esfera como um feixe ainda paralelo. Agora, vamos descobrir as respostas para essa questão e ver como Newton resolveria esse enigma óptico!

Intermediária

Moysés Nussenzveig foi um grande físico brasileiro que teve uma importante atuação na área da óptica, em que fez diversos estudos sobre a formação de arco-íris através de gotas d'água suspensas no ar. Sua pesquisa sobre arco-íris contribuiu para o avanço da compreensão dos fenômenos ópticos naturais e estabeleceu fundamentos teóricos para explicar as características observadas nos arco-íris. Além disso, ele é autor de uma maravilhosa coleção de livros de física de ensino superior, o Curso de Física Básica, que pode muito bem ser utilizado para iniciar o aprofundamento de física para as seletivas.

Em homenagem ao Moysés Nussenzveig, vamos estudar a formação de arco-íris de duas formas diferentes: criados a partir de um prisma e a partir de uma gota d'água suspensa no ar.

A formação de arco-íris deve-se ao fato de que cada comprimento de onda possui um índice de refração diferente. Essa dependência do índice de refração  com o comprimento de onda obedece a equação de Cauchy:

$n = A + \dfrac{B}{\lambda^2}$

Em que A e B são constantes que dependem do material. Essa equação será muito útil ao longo dessa questão.

Parte A: Arco-íris em prismas

Vamos começar estudando um pouco sobre a formação de um arco-íris a partir de prismas. Os arco-íris são formados em prismas a partir da condição de desvio mínimo angular de um raio de luz. Para nossa felicidade, essa condição sempre é atingida no caso em que a abertura do prisma apresenta um pequeno ângulo, ou seja, em prismas finos.

a) Escreva o desvio mínimo angular $\delta$ de um raio de luz incidente em um prisma fino de abertura $\alpha$ e índice de refração $n_0$.

b) Imagine um feixe pontual de raios paralelos compostos por luz policromática atingindo um prisma de pequena abertura $\alpha = 8^{\circ}$ a uma altura $y = 2\; \rm{cm}$. Calcule o comprimento do arco-íris gerado pelo prisma. A figura abaixo mostra o prisma sendo atingido por um raio genérico. Dados: $A = 1,46$ e $B = 3,54 \cdot 10^6 \; \rm{nm^2}$

Parte B: O arco-íris no céu

Agora vamos finalmente estudar a formação de um arco-íris no céu! Quando um raio de Sol penetra em uma gota d'água, ele sofre múltiplas reflexões internas. Considere o raio da figura abaixo que sofre uma única reflexão interna antes de sair da gota. Para a solução dos itens a seguir, considere a gota uma esfera uniforme e índice de refração $n$.

c) Mostre que o desvio $\delta$ do raio emergente em relação ao raio incidente é dado pela seguinte equação:

$\delta = \pi + 2\alpha - 4\beta$

Onde $\alpha$ é o ângulo de incidência na gota e $\beta$ é o ângulo de refração.

d)  Para que um arco-íris seja formado, o desvio $\delta$ do raio deve ser mínimo. Mostre que isso acontece para um ângulo de incidência $\alpha$ tal que

$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{4-n^2}{3}}$

Avançada

César Lattes foi um renomado físico brasileiro que deixou um legado significativo na área da pesquisa científica. Lattes ficou conhecido mundialmente por sua contribuição fundamental na descoberta do méson-pi, uma partícula subatômica importante para a compreensão da interação nuclear forte. Em $1947$, trabalhando em colaboração com outros cientistas, Lattes e sua equipe realizaram experimentos pioneiros que permitiram a detecção e identificação do méson-pi, confirmando sua existência teórica. Essas pesquisas renderam o Prêmio Nobel de $1950$ ao físico britânico Frank Powell.

Parte A: Estudando o méson-pi

A teoria dos mésons originou-se em $1935$, a partir de trabalhos de Yukawa. Yukawa propôs que núcleons frequentemente emitem partículas com uma massa de repouso apreciável, que hoje são chamados de mésons-pi, ou pions. Essas partículas orbitam por um curto período de tempo ao redor dos núcleons e depois são absorvidos por eles. Até então, os mésons-pi não tinham de fato sido descobertos, mas já era possível estimar o valor de sua massa de repouso.

a) Utilizando o princípio da incerteza, estime o valor da massa de um méson-pi ($m_{\pi}$) que está em uma órbita circular estável de raio $r \sim 2 \cdot 10^{-15}\; \rm{m}$ gerada por uma força nuclear entre o méson-pi e o núcleo.

Os mésons-pi na realidade foram detectados primeiramente por Lattes e sua equipe em $1947$ (o que originou o Prêmio Nobel de $1950$), ao analisar a energia proveniente de radiação cósmica que constantemente bombardeando a Terra. Porém, pouco tempo depois os mésons-pi começaram a ser produzidos artificialmente em cíclotrons a partir da colisão entre um próton altamente energético e um próton em repouso. Essa colisão pode ser escrita da seguinte forma:

$p + p \rightarrow \pi^+ + d$

Em que $d$ é um núcleo composto por um próton e um nêutrons (dêuteron)

b) A partir da colisão descrita anteriormente, calcule a massa do méson-pi considerando que a energia mínima do próton para a formação do méson-pi seja $1700\; \rm{MeV}$

c) Compare o seu resultado do item a) e do item b) e explique a diferença entre eles.

Parte B: Outra forma de gerar um méson-pi

d) Outro modo de gerar um méson-pi carregado é a partir da colisão entre um próton estacionário e um fóton, que pode ser descrita da seguinte forma:

$\gamma + p = \pi^+ + n$

Utilizando a massa do méson-pi descoberta no item b), calcule a energia mínima do fóton incidente para que o méson-pi possa ser gerado.

Parte C: Corrida maluca!

e)  Agora, um méson-pi e um muon vão disputar uma corrida de $100 \; \rm{m}$. Para que a corrida seja justa, ambos terão inicialmente uma energia de $10\; \rm{GeV}$. Qual será a distância entre o muon e o méson-pi quando o muon ganhar a corrida?

 

Dados: $m_p = 938,27 \; \rm{MeV/c^2}$, $m_n = 939,57 \; \rm{MeV/c^2}$, $m_{\mu} = 105,67 \; \rm{MeV/c^2}$