Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
Dinâmica: força de atrito e potência
μ=v1sinα1−v2sinα2v2cosα2−v1cosα1
Intermediário
Óptica geométrica: índice de refração variável
Seja θ o ângulo que a direção tangente ao raio faz com o eixo y em um ponto arbitrário de sua trajetória. Da Lei de Snell:
n(y)sinθ=cte.=n0sin90∘=n0.
Usamos o ângulo com a vertical pois foi fornecido que o índice de refração varia apenas com a coordenada vertical. Veja o esboço geométrico da trajetória:
Figura 1: Geometria do problema.
Utilizando trigonometria, obtemos
sinθ=R−yR.
Por fim, substituindo na primeira, encontramos:
n(y)=n0RR−y.
n(y)=n0�RR−y
Avançado
Circuitos LC de corrente alternada
Várias soluções diferentes são possíveis. Aqui, faremos uma abordagem analítica mais direta.
i) Analisando o circuito antes da chave ser fechada
Nesse caso, temos apenas uma malha. Seja I=I(t) a corrente circulante, no sentido horário. Então, pelas Leis de Kirchoff, vale que
q1C−q22C−3L˙I=0,
sendo q1 e q2 as cargas em cada capacitor. O sinal positivo que precede q1 ocorre pois a sua polaridade é inversa relativamente a convençao da corrente. Derivando e usando I=˙q1=−˙q2 (pois 2C esta descarregando), obtemos a equação diferencial que descreve I
¨I+12LCI=0.
Cuja solução é (defina ω=1/√2LC):
I(t)=Asinωt+Bcosωt,
com A e B sendo constantes reais. Utilizando as condições iniciais I(0)=0 e ˙I(0)=q0/6LC (pois a carga inicial em C é nula), obtemos A=−q0/3√2LC e B=0. Portanto, I(t)=q0/3√2LCsinωt. Trivialmente, a função possui valor máximo para ωt=π/2 (e demais múltiplos que resultam no mesmo valor para o seno, mas vamos admitir por simplicidade que a chave fecha no primeiro momento em que a corrente é máxima):
I(t)m≡I0=q03√2LC.
Guardemos tal resultado.
Pela conservação da carga:
q0=q1+q2.
Integrando-se (verifique!) e usando as condições iniciais, obtemos
q1(t)=q03(1−cosωt),
q2(t)=q03(2+cosωt).
Chame de Q1 e Q2 as cargas em cada capacitor no momento em que a chave é fechada (ωt=π/2). Das equações acima, tiramos
Q1=q03,
Q2=2q03.
ii) Analisando o circuito após a chave ser fechada
Há agora duas malhas: a esquerda a da direita (na figura do problema). Sejam I1=I1(t) e I2=I2(t) as correntes circulando em sentido horário em cada uma delas, respectivamente. É fácil ver (verifique utilizando as Leis de Kirchoff para obter a equação de movimento em cada malha) que as equações tomam a forma
I1(t)=Dsinωt+Ecosωt,
I2(t)=Fsinωt+Gcosωt.
Sendo D, E, F e G constantes reais. Como a corrente em um indutor não pode variar subitamente, o par de condições iniciais a seguir é válido:
I1(0)=I2(0)=I0.
E, aplicando as Leis de Kirchoff para cada malha separadamente (lembre-se que as cargas nos capacitores no ínicio do processo são Q1 e Q2 previamente obtidas), obtemos as seguintes condições iniciais adicionais:
˙I1(0)=−q06LC,
˙I2(0)=q03LC.
Aplicando-as nas equações de movimento e efetutando os algebrismos necessários, chega-se então em
D=−I0,
E=I0,
F=2I0,
G=I0.
Ou seja:
I1(t)=I0(cosωt−sinωt),
I2(t)=I0(2sinωt+cosωt).
Seja I′ a corrente no ramo da chave. Pela continuidade (lei dos nos) vale I′=I2−I1, o que nos leva a I′(t)=3I0sinωt. Logo o seu valor maximo Imax≡I′max é igual a
Imax=q0√2LC.
Imax=q0√2LC.