Escrito por Matheus Ponciano
Iniciante:
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Análise das velocidades angulares de um sistema de rodas dentadas.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nesse sistema de rodas dentadas, podemos observar dois tipos de associações entre as rodas: uma associação direta, quando duas rodas estão se encostando, e uma associação indireta, quando duas rodas estão conectadas por meio de uma correia.
Na associação direta, a velocidade tangencial ($$V = \omega R$$) de uma deve ser do sentido oposto e de mesmo módulo da outra, para que não haja movimento relativo entre as rodas.
Na associação indireta, a velocidade tangencial de uma deve ser do mesmo sentido e de mesmo módulo, pois a correia cria um vínculo entre elas.
Analisando o nosso sistema, vemos que ocorre a associação indireta apenas entre as rodas $$c$$ e $$d$$, ocorrendo uma associação direta entre as outras rodas. Logo:
$$V_d = V_c$$
$$\omega_d R_d = \omega_c R_c$$
$$10*10 = \omega_c*50$$
$$\omega_c = 2$$ $$\frac{rad}{s}$$
$$V_c = – V_b$$
$$\omega_c R_c = – \omega_b R_b$$
$$50*2 = – \omega_b*20$$
$$\omega_b = -5$$ $$\frac{rad}{s}$$
$$V_b = – V_a$$
$$\omega_b R_b = – \omega_a R_a$$
$$(-5)*20 = – \omega_a*40$$
$$\omega_a = 2,5$$ $$\frac{rad}{s}$$
As velocidade angular obtida estar negativa indica apenas que gira no sentido contrário do sentido considerado como positivo. Como definimos que o sentido horário é o positivo:
$$\omega_a = 2,5$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido horário.
$$\omega_b = 5$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido anti-horário.
$$\omega_c = 2$$ $$\frac{rad}{s}$$a no sentido horário.
$$\omega_d = 10$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido horário.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\omega_a = 2,5$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido horário.
$$\omega_b = 5$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido anti-horário.
$$\omega_c = 2$$ $$\frac{rad}{s}$$a no sentido horário.
$$\omega_d = 10$$ $$\frac{rad}{s}$$ no sentido horário.
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Intermediário:
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Transformações de gases ideais.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como o gás hélio é um gás monoatômico, seu coeficiente de Poisson é $$\gamma = \frac{5}{3}$$, que pode ser obtido pela relação:
$$C_p – C_v = R$$
$$\gamma = \dfrac{C_p}{C_v}$$
Com $$C_v = \dfrac{3R}{2}$$, temos que:
$$C_p = \dfrac{3R}{2} + R$$
$$C_p = \dfrac{5R}{2}$$
$$\gamma = \dfrac{\dfrac{5R}{2}}{\dfrac{3R}{2}}$$
$$\gamma = \dfrac{5}{3}$$
Com esse valor de $$\gamma$$, podemos utilizar uma relação de transformação adiabática, sendo essa:
$$PV^{\gamma} = constante$$
$$P(\dfrac{nRT}{P})^{\gamma} = constante$$
$$P \dfrac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \dfrac{constante}{(nR)^{\gamma}}$$
Considerando que não haja mudança do número de mols nessa transformação:
$$\dfrac{T^{\gamma}}{P^{\gamma – 1}} = constante$$
Com isso podemos descobrir o valor da temperatura final. Temos que:
$$P_o = 10$$ $$atm$$
$$T_o = 0$$ $$^o C$$ $$ = 273$$ $$K$$
$$P_f = 1$$ $$atm$$
Logo:
$$\dfrac{T_o^{\gamma}}{P_o^{\gamma – 1}} = \dfrac{T_f^{\gamma}}{P_f^{\gamma – 1}}$$
$$\dfrac{273^{\frac{5}{3}}}{10^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{T_f^{\gamma}}{1^{\frac{2}{3}}}$$
$$T_f = (\dfrac{273^{\frac{5}{3}}}{10^{\frac{2}{3}}})^{\frac{3}{5}}$$
$$T_f = (\dfrac{11488,71}{4,6416})^{\frac{3}{5}}$$
$$T_f =2475,16^{\frac{3}{5}}$$
$$T_f =108,68$$ $$K$$
$$T_f \approx 109$$ $$K$$
Em $$^o C$$:
$$T_f \approx -164$$ $$^o C$$
Na transformação adiabática, o calor transferido é $$0$$, logo, podemos escrever a fórmula de $$1^a$$ lei da termodinâmica:
$$Q = \Delta U + W$$
$$Q = 0$$
$$W_{adiab} = -\Delta U$$
$$W_{adiab} = – nC_v(T_f – T_o)$$
$$W_{adiab} = nC_v(T_o – T_f)$$
$$W_{adiab} = 1*\dfrac{3*8,314}{2}*(273-109)$$
$$W_{adiab} = \dfrac{3*8,314*164}{2}$$
$$W_{adiab} \approx 2045$$ $$J$$
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$$T_f \approx -164$$ $$^o C$$
$$W_{adiab} \approx 2045$$ $$J$$
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Avançado:
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Associações de resistores e simetrias.
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Nós temos que o circuito será dessa forma, com cada aresta correspondendo a uma resistência $$R$$ conectando:
Podemos redesenhá-lo para simplificar as observações de tal forma:
Perceba que todo vértice que não seja $$A$$ ou $$B$$ é simétrico ao outro, por isso podemos traçar um eixo de simetria entre eles, sendo estabelecida uma equipotencial. Já que uma equipotencial foi estabelecida, todos os resistores ligados entre dois vértices dessa equipotencial, podem ser cortados e os pontos dessa equipotencial juntados em um novo ponto C. Podemos novamente redesenhar o sistema:
Com $$R_{AC} = R_{CB}$$ por serem simétricos.
$$R_{AC}$$ é obtido por uma associação em paralelo de $$n-2$$ resistores, logo:
$$\dfrac{1}{R_{AC}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} + …$$
Ocorrendo essa soma $$n-2$$ vezes, daí:
$$\dfrac{1}{R_{AC}} = \dfrac{n-2}{R}$$
$$R_{AC} =R_{CB} = \dfrac{R}{n-2}$$
Como $$R_{AC}$$ está em série com $$R_{CB}$$:
$$R_{AB}’ = \dfrac{2R}{n-2}$$
Como $$R_{AB}’$$ está em paralelo com $$R_{AB}$$
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{n-2}{2R} +\frac{1}{R}$$
$$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{n}{2R}$$
$$R_{eq} = \dfrac{2R}{n} $$
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$$R_{eq} = \dfrac{2R}{n} $$
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