Primeiro começaremos com uma formalidade. Caso a notação polinomial acabe complicado demais as coisas, sinta-se a vontade para pular a demonstração.
Teorema da Fatoração Polinomial. Se $$P(X)$$ é um polinômio de coeficientes complexos e $$r$$ é um complexo tal que $$P(r)=0$$, então existe um polinômio $$Q(X)$$ de coeficientes complexos tal que
$$P(X)=(X-r)Q(X)$$
Prova. Considere a divisão longa de polinômios
$$P(X)=(X-r)a(X) +b(X)$$
com $$\deg b < \deg (X-r)=1$$. Então $$b(X)=b$$ é um polinômio constante.
Agora basta ver que $$P(r)=(r-r)a(r)+b$$, logo $$b=0$$ e basta tomar $$Q(X)=a(X)$$.
Show! Mas e daí?
O ponto é que agora podemos utilizar isso ao nosso favor. Isso nos dá uma boa dica de como fatorar as coisas. Vejamos um exemplo.
Se desejarmos fatorar a expressão $$x^3+5x^2-7x-26$$, qual é um jeito interessante de começar a pensar em como?
Temos dois lembretes nesse ponto da história
Primeiro: nem todo polinômio pode ser fatorado em fatores racionais, então pode ser que a fatoração da expressão acabe com um fator $$x^2 +\sqrt{13}x -\sqrt{26}$$ (quem sabe!)
Segundo: Podemos usar o resultado que acabamos de ver para chutar um fator!
Testando $$x=0,1,2$$, vemos que nossos valores acabam não encaixando dentro do polinômio. Mas e se formos para os números negativos?
Acabamos encontrando que $$(-2)^3 +5 (-2)^2 -7 (-2)-26= -8+20+14-26=0$$. Ou seja, podemos fazer a divisão longa por polinômios e encontrar
$$x^3+5x^2-7x-26=(x-(-2))(x^2+3x-13)$$
Agora vamos supor o seguinte: passei bastante tempo procurando uma raiz para fatorar meu polinômio e não encontrei nada, o que faço?
Nesse caso, há um critério que ajuda bastante a limitar os candidatos de raízes racionais a uma quantidade bem limitada delas.
Critério da Raiz Racional. Seja $$f(x)=a_nx^n+…+a_1x+a_0$$ um polinômio de coeficientes inteiros e $$\frac{p}{q}$$ uma raiz racional de $$f$$, onde $$p,q$$ são inteiros primos entre si. Então $$p|a_0$$ e $$q|a_n$$.
Prova. Basta abrir as contas
$$a_np^n +a_{n-1}p^{n-1}q+…+a_1pq^{n-1}+a_0q^n = 0$$
Olhando divisibilidade por $$p$$, $$p|a_0 q^n$$, logo $$p|a_0$$. De mesma forma, $$q|a_n$$.