Iniciante
Ana joga um jogo no plano. Inicialmente ela tem n pontos marcados e alguns segmentos traçados entre eles. A cada minuto, Ana escolhe dois segmentos $$AB$$ e $$CD$$ que se intersectam, apaga-os e depois traça os segmentos $$AC$$ e $$BD$$ (desde que nenhum desses dois estivesse presente antes). Prove que ela não pode jogar esse jogo para sempre.
Intermediário
Prove que não existem inteiros positivos $$x,y,w,z$$ tais que
$$x^2+y^2+w^2+z^2=8xywz$$
Avançado
Seja $$p$$ um número primo maior que $$1000$$ e $$F_n$$ a sequência de Fibonnaci:
$$F_0=0,F_1=1$$
$$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$$
Prove que $$p|F_{p^2-1}$$
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