Semana 46 (23 de abril de 2019)

Iniciante

Ana joga um jogo no plano. Inicialmente ela tem n pontos marcados e alguns segmentos traçados entre eles. A cada minuto, Ana escolhe dois segmentos $AB$ e $CD$ que se intersectam, apaga-os e depois traça os segmentos $AC$ e $BD$ (desde que nenhum desses dois estivesse presente antes). Prove que ela não pode jogar esse jogo para sempre.

Intermediário

Prove que não existem inteiros positivos $x,y,w,z$ tais que

$x^2+y^2+w^2+z^2=8xywz$

Avançado

Seja $p$ um número primo maior que $1000$ e $F_n$ a sequência de Fibonnaci:

$F_0=0,F_1=1$
$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$

Prove que $p|F_{p^2-1}$