Iniciante
Seja $$k$$ um inteiro positivo. Dizemos que um número composto $$n$$ é esquisito se $$n$$ não divide $$ (n-k)! $$ Prove que não existem infinitos números esquisitos.
Intermediário
Sejam $$a,b$$ inteiros e $$x_1,x_2,…$$ uma sequência de inteiros satisfazendo
$$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\ \forall n \ge 2$$
Dado que $$x_{m^2}=0$$ para todo inteiro positivo $$m$$, prove que $$x_m=0$$ para todo inteiro positivo $$m$$.
Avançado
Seja $$n$$ um inteiro positivo. Prove que existe um inteiro positivo $$m$$ tal que
$$n| 2^m + [\frac{n}{2}]^m -m $$
onde $$[\ ]$$ é a função parte inteira.
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