Semana 50 (21 de maio de 2019)

Iniciante

Prove que existem infinitos números primos que deixam resto $$1$$ na divisão por $$4$$.

Intermediário

Dados $$n$$ pontos no plano em posição geral, prove que o número máximo de segmentos que podem ser traçados com extremidades nesses pontos de modo que não apareçam triângulos é, no máximo, $$n^2$$.

Avançado

Seja $$f$$ uma função dos inteiros nos inteiros satisfazendo a identidade

$$f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1$$

para todos inteiros $$m,n$$. Prove que se $$f(2019)-f(2018)=3$$, então há inteiros $$a,b$$ com $$f(a)=f(b)+1$$.