SEMANA 59 MATEMÁTICA

Iniciante

Considere um triângulo $$ABC$$ com $$A$$-excírculo $$k_a$$ e diga que o raio de $$k_a$$ é $$r_a$$. Defina $$r_b$$ e $$r_c$$ analogamente. Dado que $$r_a=r_b=r_c$$, prove que $$ABC$$ é equilátero.

Intermediário

Seja $$s(n)$$ a soma dos quadrados dos dígitos de $$n$$. Ache todos os inteiros positivos $$n$$ tais que $$s(n)=n$$.

Avançado

Dizemos que $$n$$ é legal se o menor fator primo de $$(n!)^n +1$$ é no máximo $$n+2019$$. Determine se o números de inteiros positivos legais é finito ou infinito.