SEMANA 61 MATEMÁTICA

Iniciante

Um monge começa a caminhar em uma estrada exatamente às 6:00 da manhã e termina seu caminho exatamente às 18:00 da tarde. No dia seguinte, ele faz o caminho contrário, começando às 6 e terminando às 18. Prove que existe um horário no dia em que o monge estava exatamente na mesma posição nesse horário nos dois dias. Note que o monge não precisa andar necessariamente com uma velocidade constante ou de modo igual nos dois dias.

Intermediário

Sejam $$x,y,z$$ inteiros positivos tais que $$29|x^4+y^4+z^4$$ prove que $$29^3|x^4+y^4+z^4$$

Avançado

Determine todos os polinômios $$P(x)$$ com coeficientes reais tais que

$$P(2P(x)) = 2P(P(x)) + 2(P(x))^2$$

para todo número real x.