INICIANTE:
Suponha que existem um número finito de números primos e chame o conjunto destes de , pegue o produtos destes
primos e chame de
. O número
é um número não divisível por nenhum dos primo, portanto é primo, ou seja, absurdo. Logo temos um número infinito de primos.
INTERMEDIÁRIO:
Pegue um número
tal que:
![N](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.gif?w=640&ssl=1)
![N \equiv -1 (mod p_1 \cdot p_2)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_dd7ac4541e68cf33269b9b94f1560a6f.gif?w=640&ssl=1)
![N \equiv -2 (mod p_3 \cdot p_4)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4946933c80dddddfcb4bf4600dfeb909.gif?w=640&ssl=1)
...
![N \equiv -(n+1) (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c1f68c4184e969b6f9bde2f54d17e553.gif?w=640&ssl=1)
Onde os
números primos são distintos dois a dois. Pelo Teorema Chinês dos Restos tal
existe e portanto:
![2n](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_21e2c0c0472b331622877accbe29b91b.gif?w=640&ssl=1)
![N](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.gif?w=640&ssl=1)
![N+1 \equiv 0 (mod p_1 \cdot p_2)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_6d52e903e07153a2a0cd5f7e14905e04.gif?w=640&ssl=1)
![N+2 \equiv 0 (mod p_3 \cdot p_4)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2e005c4e19e9e626e7b276fe26889edc.gif?w=640&ssl=1)
...
![N+n+1 \equiv 0 (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_83f6bcce6b1b2a132925f2ba4747a032.gif?w=640&ssl=1)
Portanto temos
números consecutivos que são múltiplos de dois primos distintos, ou seja, não são potência de primo.
![n](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif?w=640&ssl=1)
AVANÇADO:
Suponha que existe um número finitos destes primos. Sejam
todos os primos da forma
. Seja:
![p_1 , p_2 , ... , p_n](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_683dfbbd21b4e24e5d6ee31a41e64104.gif?w=640&ssl=1)
![4k+1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_63f843d290b757ae863bf294e55379de.gif?w=640&ssl=1)
![x = 2 \cdot p_1 \cdot p_2 ... \cdot p_n](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9044f015d0184af15fdd7977d0d95d51.gif?w=640&ssl=1)
Tome
primo tal que
divide ![x^2+1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2cd3b198cc2d1805468e336d663e92cb.gif?w=640&ssl=1)
![q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif?w=640&ssl=1)
![q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif?w=640&ssl=1)
![x^2+1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2cd3b198cc2d1805468e336d663e92cb.gif?w=640&ssl=1)
![x^2 \equiv -1 (mod \ q)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f24246387a130aa1e999f1bf460df29.gif?w=640&ssl=1)
![x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif?w=640&ssl=1)
![q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif?w=640&ssl=1)
![(x^2)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} (mod \ q)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_003443c8cd7e2bc0a2f99026d0f849eb.gif?w=640&ssl=1)
Como
então
![mdc(x,q)=1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_64720a27bd627a1994ac7749397e8a04.gif?w=640&ssl=1)
![x^(q-1) \equiv 1 (mod \ q) \Rightarrow (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv 1 (mod \ q)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_116349b6cd047f39631a37d2ceed79d8.gif?w=640&ssl=1)
![\dfrac{q-1}{2}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0facc555caea09559b026c95a401a78d.gif?w=640&ssl=1)
![q \equiv 1 (mod 4)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d1fbaafc1dfb8addfd5638ce9ce6244c.gif?w=640&ssl=1)