Tempo: 4:30
Cada problema vale 7 pontos
Problema 1. Ache todos os inteiros positivos $$n$$ tais que a desigualdade
$$3x^n +n(2+x) -3 \ge n x^2 $$
vale para todo número real $$x$$.
$$$$
Problema 2. Seja $$n$$ um inteiro ímpar maior que $$1$$. Prove que não existem infinitos pares de inteiros positivos $$r,s$$ tais que o número $$ \binom{r}{n} + \binom{s}{n} $$ é primo.
$$$$
Problema 3. No quadrilátero cíclico $$ABCD$$, diagonais $$AC$$ e $$BD$$ se encontram em $$P$$. Sejam $$E,F$$ os respectivos pés de $$P$$ em $$AB,CD$$. As retas $$BF$$ e $$CE$$ se encontram em $$Q$$. Prove que $$PQ$$ e $$EF$$ são perpendiculares.