Problema 1
Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos $$2015$$ maneiras diferentes como soma de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que duas somas que alteram apenas a ordem das parcelas constituem uma mesma representação.
Por exemplo, $$1^2+1^2+3^2+3^2+7^2+10^2$$ e $$5^2+12^2$$ são duas maneiras distintas de escrevermos $$169$$ como soma de quadrados.
Solução de João Linhares: O número $$8056$$ satisfaz a condição.
$$8056=4\cdot2014=2^2+2^2+2^2+…+2^2\mathsf{(2014 vezes)}$$
Perceba que:
$$2^2=1^2+1^2+1^2+1^2$$
Portanto, basta escolher $$k$$ $$(0\leq$$ k $$\leq2014)$$ dentre os $$2014$$ $$2^2$$ e trocar por $$4$$ $$1^2$$, obtendo assim uma nova configuração. Como existem $$2015$$ valores de k, $$8056$$ pode ser escrito de $$2015$$ maneiras diferentes como soma de quadrados.