PROBLEMA 2
Seja $$ABCD$$ um quadrilátero convexo. As retas $$AB$$ e $$CD$$ cortam-se em $$E$$ e as retas $$BC$$ e $$AD$$ cortam-se em $$F$$. Sejam $$P$$ e $$Q$$ os pés das perpendiculares de $$E$$ sobre as retas $$AD$$ e $$BC$$, respectivamente, e sejam $$R$$ e $$S$$ os pés das perpendiculares de $$F$$ sobre as retas $$AB$$ e $$CD$$, respectivamente. As retas $$ER$$ e $$FS$$ se cortam em $$T$$.
a) Mostre que ha uma circunferência que passa pelos pontos $$E$$,$$F$$,$$P$$,$$Q$$,$$R$$ e $$S$$.
b) Prove que a circunferência que passa pelos vértices do triângulo$$RST$$ é tangente à circunferência que passa pelos vértices do triângulo $$QRB$$.
SOLUÇÃO por João Linhares.
a) $$\angle FRE=\angle FSE=\angle FPE=\angle FQE=90$$° $$\iff E,F,P,Q,R,S$$ são concíclicos e pertencem a uma circunferência de diâmetro $$EF$$.
b) Seja $$T’= CD\cap(TRS)$$ e $$F’= RF\cap(BRQ)$$, daí:
$$\angle T’RT + \angle T’ST = 180$$°$$ \iff \angle T’RT = 90$$°
Portanto $$T’,R,F$$ e $$F’$$ são colineares. Mas,
$$RTST’$$ é cíclico $$ \iff \angle TT’R=\angle TSR$$
$$RSQF$$ é cíclico $$ \iff \angle FSR=\angle FQR$$
$$RQF’B$$ é cíclico $$ \iff \angle BQR=\angle BF’R$$
Logo $$\angle TT’R=\angle BF’R$$. E consequentemente:
$$\triangle RT’T \sim \triangle RF’B (AA)\iff \frac{2R_1}{RT}= \frac{2R_2}{RB} \iff$$
$$\iff \triangle BO_2R \sim \triangle TO_1R (LLL) \iff \angle BRO_2 = \angle TRO_2$$
Portanto $$O_2,R$$ e $$O_1$$ são colineares e então as circunferências se tangenciam em $$R$$.