PROBLEMA 5
Seja $$n$$ um inteiro positivo e sejam $$n = d_1 > d_2 >… > d_k = 1$$ seus divisores positivos.
a) Prove que
$$d_1-d_2+d_3-d_4+…+(-1)^{k-1}d_k=n-1$$
apenas se $$n$$ é primo ou $$n=4$$.
b) Determine os três inteiros positivos $$n$$ para os quais
$$d_1-d_2+d_3-d_4+…+(-1)^{k-1}d_k=n-4$$.
SOLUÇÃO.
a) Como $$d_1=n \Rightarrow d_2-d_3+…+(-1)^kd_k=1$$, mas se $$k\geq 7 \Rightarrow (d_2-d_3)+(d_4-d_5)+(d_6-d_7)+…+(-1)^k \geq 2$$, se $$k=5,6$$ basta notar que $$(d_2-d_3)+(d_4-d_5) \geq 2$$, e para $$k=4$$ temos $$(d_2-d_3)+d_4 \geq 2$$, logo $$k=2$$ ou $$k=3$$, se $$k=2 \Rightarrow$$ $$n$$ é primo, se $$k=3 \Rightarrow n=p^2$$, com $$p$$ primo e portanto $$p-1=1 \Rightarrow p=2 \Rightarrow n=4$$.(Note que $$(d_i-d_{i+1})\geq 1$$, para todo $$i$$).
b) Se $$n$$ possuir mais que $$10$$ divisores, então bastar notar que
$$d_1-d_2+d_3-d_4+…+(-1)^{k-1} \leq n-(d_2-d_3)-(d_4-d_5)-(d_6-d_7)-(d_8-d_9)-(d_{10}-d_{11}) \leq n-5$$
Logo $$k\leq 10$$. Vamos aos casos:
Se $$k=10$$, Temos $$n-(d_2-d_3)-(d_4-d_5)-(d_6-d_7)-(d_8-d_9)-(d_{10})\leq n-5$$.
Se $$k=9$$, devemos ter $$n$$ da forma $$n=p^8$$ ou $$n=p^2q^2$$(com $$p,q$$ primos), note que devemos ter $$(d_8-1)=1 \Rightarrow d_8=2 \Rightarrow n=2^8, 4q^2$$ é facil ver que $$n=256$$ não é solução e se $$q\geq 7 \Rightarrow (d_6-d_7)=(q-4)\geq 3$$, logo $$q=3,5$$; mas $$n=36, 100$$ não são soluções.
Se $$k=8$$, devemos ter $$n=p^7, p^3q, pqr$$ (com $$p,q,r$$ primos); se $$p$$ ou $$q\geq 5$$ basta notar que $$p^2-p\geq 2$$ e $$q-p\geq 2$$, logo $$n=24, 54, 6r$$; é fácil ver que $$n=24, 54$$ não são soluções. Se $$n=6r$$, devemos ter $$r\leq 7$$(se não $$(d_4-d_5)\geq 2$$), logo $$n=30, 42$$; ambos não são soluções.
Se $$k=7$$, devemos ter $$n=p^6$$, se $$p\geq 3$$, temos $$p^3-p^2\geq 3$$, além disso, $$n=2^6=64$$ não é solução.
Se $$k=6$$, devemos ter $$n=p^5, pq^2$$; se $$p\geq 3$$, como $$(d_4-d_5)=p^2-p\geq 6$$ e $$n=2^5=32$$ não é solução, temos $$n=pq^2$$; se $$q\geq 3$$ não é dificil ver que ou $$(d_2-d_3)$$ ou $$(d_4-d_5)$$ é maior que $$2$$, logo $$q=2 \Rightarrow n=4p$$, logo, ou $$p=3 \Rightarrow n=12$$ ou $$2p-p+4-2+1=4\Rightarrow p=1$$(absurdo). Mas note que $$n=12$$ é solução.
Se $$k=5$$, devemos ter $$n=p^4$$, e assim $$p^3-p^2+p-1=4\Rightarrow p|5 \Rightarrow n=5^4$$, mas $$n=625$$ não é solução.
Se $$k=4$$, devemos ter $$n=pq, p^3$$; logo, ou $$q-p+1=4\Rightarrow q-p=3 \Rightarrow (q,p)=(5,2)$$ ou $$p^2-p+1=4\Rightarrow p|3\Rightarrow p=3$$, porém $$n=27$$ não é solução. Mas $$n=10$$ é solução.
Se $$k=3$$, devemos ter $$n=p^2\Rightarrow p-1=4\Rightarrow p=5$$ e por fim $$n=25$$ é solução.
Resposta: $$n=10, 12, 25$$.