Problema 1
a) Considere todos os números formados usando os quatro algarismos $$1$$, $$2$$, $$3$$ e $$4$$. Formamos a seguinte expressão numérica $$S_4 = 4321-4312+4231-4213+…+1243-1234$$, na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais $$+$$ e $$-$$ alternam-se até o final. Calcule o valor de $$S_4$$.
b) De modo análogo, tomamos todos os números de nove algarismos distintos e não nulos e formamos a expressão numérica $$S_9 = 987654321-987654312+987654231-…-123456789$$, na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais $$+$$ e $$-$$ alternam-se até o final. Calcule o valor de $$S_9$$.
Solução por Caio Hermano:
Para calcularmos o valor da expressão em ambas situações vamos utilizar o fato que entre dois números consecutivos (com um sinal negativo entre eles) a única diferença é a permutação dos dois últimos algarismos, que possibilita a menor diferença possível (alterar as centenas, por exemplo, não seria a melhor opção se ainda podemos alterar apenas as dezenas e unidades, que possibilitam um menor acréscimo) requerida para a ordenação dos números.
Defina $$S_n$$ da mesma forma que $$S_4$$ e $$S_9$$, sendo $$n$$ natural e menor ou igual a $$9$$.
Analisando esse fato veja que o valor total de $$S_n$$ é justamente dado por essas diferenças, logo ao contá-las encontramos a resposta do problema. Vamos fixar os dígitos não permutados e analisar apenas os dois últimos dígitos: suponha que o menor seja $$a$$ e o maior $$a+j$$, então ao trocarmos ambos de lugar, a única diferença entre os números será justamente a diferença resultante da permutação, pois o restante vai “se anular”, assim basta calcularmos:
$$[10 \cdot (a+j) + a]- [10 \cdot a + (a+j)] = 10 \cdot j – j = 9 \cdot j$$
Se a diferença entre os dígitos permutados for $$j$$, então acrescentamos $$9j$$ ao valor total, porém, veja que fixando os algarismos não permutados, a quantidade $$k$$ de vezes que isso acontece é justamente $$n-j$$:
Permutação dos dígitos cuja diferença é $$j$$: $$1$$ e $$j+1$$, $$2$$ e $$j+2$$, … , $$k$$ e $$j+k$$, mas $$n$$ é o maior dígito possível, logo $$j+k = n \Rightarrow k = n-j$$, justamente o que queremos provar.
Por fim, basta “acrescentarmos” a quantidade de vezes que cada pequena diferença, resultante da permutação dos dois últimos dígitos, ocorre: $$(n-2)!$$, de fato, esse valor resulta da quantidade de maneiras existentes de permutar os $$(n-2)$$ primeiros dígitos, que durante nossos cálculos estavam fixos.
Assim:
$$S_n = (n-2)!\cdot[(n-1) \times (9 \cdot 1) + (n-2) \times (9 \cdot 2) + (n-3) \times (9 \cdot 3) + … + (n-(n-1)) \times (9 \cdot (n-1))]$$.
O que nos possibilita encontrar a resposta de ambos itens:
(a) $$S_4 = 2! \cdot [(4-1) \times (9 \cdot 1) + (4-2) \times (9 \cdot 2) + (4-3) \times (9 \cdot 3)] = 2! \cdot 90 = 180$$.
(b) $$S_9 = 7! \cdot [(9-1) \times (9 \cdot 1) + (9-2) \times (9 \cdot 2) + … + (1) \times (9 \cdot 8)] = 7! \cdot[72 + 126 + 162 + 180 + 180 + 162 + 126 + 72] = 7! \cdot 1080 = 5443200$$.