Problema 3
Os números reais $$a$$, $$b$$, $$r$$ e $$s$$ são tais que as raízes da equação $$x^2-ax+b=0$$ são $$\dfrac{1}{r}$$ e $$\dfrac{1}{s}$$ e as raízes da equação $$x^2-rx+s=0$$ são $$a$$ e $$b$$. Sabendo que $$a>0$$, encontre o seu valor.
Solução por Caio Hermano:
Pelas Relações de Girard, obtemos que:
$$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}$$ (1), $$b=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{s}$$ (2), $$r=a+b$$ (3), $$s=a\cdot b$$ (4)
Substituindo (1) e (2) em (3) temos:
$$r=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{rs}\Rightarrow$$ $$r=\dfrac{r+s+1}{rs}\Rightarrow$$ $$r^2s=r+s+1\Rightarrow$$ $$r^2s-r-(s+1)=0$$
Calculando por Bháskara as raízes vemos que:
$$r=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4s(s+1)}}{2s}\Rightarrow$$ $$r=\dfrac{1\pm\sqrt{(4s^2+4s+1)}}{2s}\Rightarrow$$ $$r=\dfrac{1\pm\sqrt{(2s+1)^2}}{2s}$$
Logo $$r=\dfrac{1-2s-1}{2s}=-1$$ ou $$r=\dfrac{1+2s+1}{2s}=\dfrac{s+1}{s}$$
Caso 1: Se $$r=-1$$, pelo enunciado sabemos que $$a>0$$, logo de (1):
$$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}>0$$
Como $$r=-1$$:
$$-1+\dfrac{1}{s}>0\Rightarrow$$ $$\dfrac{1}{s}>1>0$$
Portanto $$\dfrac{1}{s}>0\Rightarrow$$ $$s>0$$, mas de (4) temos $$b=\dfrac{s}{a}$$, como $$a>0$$ e $$s>0$$, então $$b>0$$, mas de (3) temos $$b=\dfrac{1}{rs}\Rightarrow$$ $$b=-\dfrac{1}{s}$$, logo $$b<0$$ pois $$s>0$$, mas $$0>b>0$$ nos implica um absurdo, logo este caso não possui solução.
Caso 2: Se $$r=\dfrac{s+1}{s}$$, de (2) temos:
$$b=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{s}\Rightarrow$$ $$b=\dfrac{s}{s+1}\cdot\dfrac{1}{s}\Rightarrow$$ $$b=\dfrac{1}{s+1}$$
Aplicando em (4) temos:
$$s=a\cdot b\Rightarrow$$ $$s=a\cdot \dfrac{1}{s+1}\Rightarrow$$ $$s(s+1)=a$$ (5)
Substituindo $$r$$ em (1):
$$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}\Rightarrow$$ $$a=\dfrac{s}{s+1}+\dfrac{1}{s}\Rightarrow$$ $$a=\dfrac{s^2+s+1}{s(s+1)}\Rightarrow$$ $$a=\dfrac{s(s+1)+1}{s(s+1)}$$
Mas substituindo por (5) temos:
$$a=\dfrac{a+1}{a}\Rightarrow$$ $$a^2=a+1\Rightarrow$$ $$a^2-a-1=0$$
Esta equação muito conhecida nos dá como raízes:
$$a=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$
Porém do enunciado $$a>0$$, logo $$a=\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$.