Problema 4
Considere um triângulo escaleno $$ABC$$ com $$AB < AC < BC$$. A mediatriz do lado $$AB$$ corta o lado $$BC$$ no ponto $$K$$ e o prolongamento de $$AC$$ no ponto $$U$$. A mediatriz do lado $$AC$$ corta o lado $$BC$$ no ponto $$O$$ e o prolongamento do lado $$AB$$ no ponto $$G$$. Prove que o quadrilátero $$GOKU$$ é cíclico, ou seja, que seus quatro vértices estão em uma mesma circunferência.
Solução por Caio Hermano:
Chame de $$M$$ o ponto médio de $$AB$$ e $$N$$ o ponto médio de $$AC$$. Por definição, $$MN$$ é base média do triângulo $$ABC$$, assim: $$MN \| BC \Rightarrow MN \| OK$$. Voltando ao problema, como $$MU$$ é mediatriz de $$AB$$, então $$A\hat{M}U$$ é ângulo reto. Analogamente, como $$NG$$ é mediatriz de $$AC$$, então $$A\hat{N}G$$ é ângulo reto. Por $$ A\hat{M}U = A\hat{N}G $$ o quadrilátero $$GNMU$$ é inscritível.
Para provarmos que o quadrilátero $$GOKU$$ é inscritível, basta mostramos que seus ângulos opostos somam $$180$$, mas isso, de fato, acontece:
$$U\hat{G}O + U\hat{K}O = 180 \Rightarrow U\hat{G}O + U\hat{M}N = 180$$
Veja que $$ U\hat{K}O = U\hat{M}N $$, já que $$MN \| OK$$.
Como já tínhamos provado que o quadrilátero $$GNMU$$ é inscritível, então $$ U\hat{G}O + U\hat{M}N = 180 $$ e $$GOKU$$ também é inscritível.