Problema 1
Seja $$ABC$$ um triangulo. As retas $$r$$ e $$s$$ são as bissetrizes internas de $$\angle ABC$$ e $$\angle BCA$$, respectivamente. Os pontos $$E$$ sobre $$r$$ e $$D$$ sobre $$s$$ são tais que $$AD \| BE$$ e $$AE \| CD$$. As retas $$BD$$ e $$CE$$ se cortam em $$F$$. Seja $$I$$ o incentro do triangulo $$ABC$$. Mostre que se os pontos $$A$$, $$F$$ e $$I$$ sao colineares então $$AB = AC$$.
Solução de João Rafael:
Note que no $$\triangle FIB$$ como $$AD \| BI\Rightarrow\frac{FD}{DB}=\frac{FA}{AI}$$ e no $$\triangle FIC$$ como $$AE \| CI\Rightarrow\frac{FE}{EC}=\frac{FA}{AI}$$:
$$\Rightarrow \frac{FE}{EC}=\frac{FD}{DB}\Rightarrow DE\|BC$$
Assim temos que $$\angle DEB=\angle EBC=\angle EBA$$ e como $$AD\|BE\Rightarrow\angle EBA=\angle DAB\Rightarrow\angle DEB=\angle DAB$$. Temos, então, que o quadrilátero $$ADBE$$ é cíclico.
De forma análoga $$\angle EDC=\angle EAC\Rightarrow\#AECD$$ é cíclico. Como o circuncirculo de $$\triangle ABC$$ é único e os pontos $$A, B$$ e $$C$$ são comuns a $$\#ADBE$$ e $$\#AECD$$ então $$ABCDE$$ é cíclico $$\Rightarrow\angle DEB=\angle DCB$$ e $$\angle ADE=\angle ABE$$.
Como sabemos $$\angle ADE=\angle DEB\Rightarrow\angle ABE=\angle DCB\Rightarrow\angle \frac{ABC}{2}=\angle \frac{ACB}{2}\Rightarrow\angle ABC=\angle ACB$$
$$\Rightarrow AB=AC$$ $$_\blacksquare$$