Problema 1
Sejam $$\omega_1$$ e $$\omega_2$$ duas circunferências de centros $$C_1$$ e $$C_2$$, respectivamente, que se cortam em dois pontos $$P$$ e $$Q$$. Suponha que a circunferência circunscrita ao triângulo $$PC_1C_2$$ intersecte $$\omega_1$$ novamente em $$A\neq P$$ e $$\omega_2$$ em $$B\neq P$$. Suponha ainda que $$Q$$ está no interior do triângulo $$PAB$$. Demonstre que $$Q$$ é o incentro do triângulo $$PAB$$.
Solução de Jonatan de Lima:
Seja $$I$$ o incentro de $$\triangle{PC_1C_2}$$. Vamos demonstrar certas propriedades a respeito de $$I$$ e concluir que este é igual a $$Q$$. Começaremos com um lema:
Lema: Seja $$ABC$$ um triângulo com incentro $$I$$. Se $$D=AI\cap (ABC)$$, com $$D\neq A$$. Então $$DI=DB=DC$$.
Note que, sendo $$\angle{BAC}=2\alpha$$, $$\angle{ABC}=2\beta$$ e $$\angle{ACB}=2\gamma$$, por arco inscrito segue $$\angle{DBC}=\angle{DAC}=\alpha=\angle{DAB}=\angle{DCB}\Rightarrow DB=DC$$. Além disso, por ângulo externo, $$\angle{BID}=\alpha+\beta=\angle{IBD}\Rightarrow DI=DB$$, concluindo que $$DI=DB=DC$$.
Voltando ao problema:
Temos que $$C_1$$ é ponto médio de $$\stackrel{\frown}{AP}$$ de $$\omega_1$$, logo, pelo lema $$C_1I=C_1A=C_1P\Rightarrow I\in \omega_1$$. Analogamente, $$C_2I=C_2B=C_2P\Rightarrow I\in \omega_2$$ e portanto $$I=\omega_1\cap \omega_2 \Rightarrow I=Q$$, como queríamos.