Problema 1
Prove que existem inteiros $$a_1, a_2, \dots, a_{2020}$$ tais que
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{2\cdot a_2} + \dots + \frac{1}{2020 \cdot a_{2020}} = 1$$.
Solução por Luca Zanardi:
Nesta solução, será provado que, para todo $$n \in \mathbb{Z_{+}^{*}}$$, existem inteiros positivos $$a_1, a_2, \dots, a_{n}$$ tais que $$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{2\cdot a_2} + \dots + \frac{1}{n \cdot a_{n}} = 1$$. A questão será um resultado direto do caso $$n = 2020$$.
Primeiramente, note que a subtração $$\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) – n}{n\cdot (n+1)} = \frac{1}{n\cdot (n+1)}$$. Assim, podemos ver que $$1 = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n}$$ (Todos os termos se cancelam). Porém, perceba que isso pode ser reescrito como $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{(n-1)\cdot n} + \frac{1}{n}$$. Assim, basta tomar $$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, \dots, a_{n-1} = n$$ e $$a_n = 1$$, e obteremos o resultado desejado.
No caso particular da questão, basta tomar $$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, \dots, a_{2019} = 2020$$ e $$a_{2020} = 1$$.
Obs. O método de resolução dessa questão pode parecer arbitrário e “tirado do bolso“, porém acaba vindo naturalmente após testar alguns casos iniciais, e ter prática em problemas parecidos (por exemplo, conhecer a fatoração $$\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n\cdot (n+1)}$$.