Problema 4
Seja $$ABC$$ um triângulo. Os círculos ex-inscritos (que tangenciam um lado e os prolongamentos de outros dois lados) tocam os lados $$BC, CA$$ e $$AB$$ nos pontos $$U, V$$ e $$W$$, respectivamente. Sejam $$r_u$$ a reta que passa por $$U$$ e é perpendicular a $$BC$$, $$r_v$$ a reta que passa por $$V$$ e é perpendicular a $$CA$$ e $$r_w$$ a reta que passa por $$W$$ e é perpendicular a $$AB$$. Prove que as retas $$r_u, r_v$$ e $$r_w$$ passam por um mesmo ponto.
Solução por Caio Hermano:
Sejam $$\angle BAC=2\alpha, \angle ABC=2\beta, \angle BCA=2\gamma$$ e $$I_A, I_B, I_C$$ os ex-incentros relativos aos vértices $$A,B,C$$ do triângulo $$ABC$$, respectivamente. Note que, como $$U$$ é o ponto de tangência do $$A$$-exincírculo ao lado $$BC$$, $$UI_A\perp BC \Rightarrow r_u=UI_A$$ e, analogamente, $$r_v=VI_B$$ e $$r_w=WI_C$$. Perceba, ainda, que $$2\alpha+2\beta+2\gamma=180\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=90$$ e $$I_B, A,I_C$$, assim como $$I_A,B_I,C$$ e $$I_A,C,I_B$$, são colineares, pois são as bissetrizes externas do $$\triangle ABC$$.
Observe que $$\angle CBI_A=\frac{180-2\beta}{2}=90-\beta$$ e, como $$\angle I_AUB=90$$, então $$\angle UI_AB=90-(90-\beta)=\beta$$ $$\Rightarrow\angle UI_AI_C =\beta$$. Ademais, $$\angle UI_AC=90-\angle BCI_A=90-(90-\gamma)$$ $$\Rightarrow \angle UI_AI_B=\gamma$$. Da mesma forma, $$\angle VI_BI_A=90-(90-\gamma)=\gamma,$$ $$\angle VI_BI_C=90-(90-\alpha)=\alpha,$$ $$\angle WI_CI_B=90-(90-\alpha)=\alpha$$ e $$\angle WI_CI_A=90-(90-\beta)=\beta$$. A partir daqui, apresentamos duas maneiras de concluir o problema:
Solução 1 (Circuncentro)
Considere o circuncentro $$O$$ do triângulo $$I_AI_BI_C$$. Sabemos que $$\angle I_AOI_B=2\angle I_AI_CI_B=2(\alpha+\beta)=2(90-\gamma)=180-2\gamma$$, mas o $$\triangle OI_AI_B$$ é um triângulo isósceles, pois $$OI_A=OI_B=OI_C$$ $$\Rightarrow \angle OI_AI_B=\frac{180-\angle I_AOI_B}{2}=\frac{180-2(180-\gamma)}{2}=\frac{2\gamma}{2}\Rightarrow \angle OI_AI_B=\gamma =\angle UI_AI_B$$ $$\Rightarrow O, U, I_A$$ são colineares. Logo, $$O\in r_u$$.
Analogamente, também concluímos que $$O\in r_v$$ e $$O\in r_w$$, provando, assim, que $$r_u, r_v$$ e $$r_w$$ são concorrentes num único ponto. $$_{\blacksquare}$$
Solução 2 (Ceva Trigonométrico)
Temos que:
$$\dfrac{\sin I_CI_AU}{\sin UI_AI_B} \cdot \dfrac{\sin I_AI_BV}{\sin VI_BI_C}\cdot \dfrac{\sin I_BI_CW}{\sin WI_CI_A}= \dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma} \cdot \dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=1$$
Portanto, pelo Teorema de Ceva Trigonométrico, as cevianas $$I_AU, I_BV, I_C$$ do triângulo $$I_AI_BI_C$$ são concorrentes e, assim, $$r_u,r_v$$ e $$r_w$$ passam por um mesmo ponto. $$_{\blacksquare}$$