Problema 1
Sejam $$ABCD$$ um quadrilátero convexo no plano e $$O_A$$, $$O_B$$, $$O_C$$ e $$O_D$$ os circuncentros dos triângulos $$BCD$$, $$CDA$$, $$DAB$$ e $$ABC$$, respectivamente. Suponha que esses quatro circuncentros sejam pontos distintos. Prove que esses pontos não estão em uma mesma circunferência.
Solução por Luca Zanardi:
Note que teremos uma figura como a seguir: (Considere M, N, P, Q pontos médios de AB, BC, CD, DA, respectivamente)
Onde tomamos $$O_A$$ (Circuncentro de BCD) para ser a intersecção da mediatriz de BC com a mediatriz de CD.
Analogamente, teremos então:
$$O_A = m(B, C) \cap m(C, D)$$
$$O_B = m(C, D) \cap m(D, A)$$
$$O_C = m(D, A) \cap m(A, B)$$
$$O_D = m(A, B) \cap m(B, C)$$
Dessa forma, note que $$\angle O_A O_B O_C = \angle PO_BQ$$. Como $$\angle DPO_B$$, $$\angle DQO_B = 90^{o}$$, teremos que $$\angle O_A O_B O_C = 180 – \angle PDQ = 180 – \angle CDA$$. Fazendo uma análise semelhante para $$\angle O_C O_D O_A$$, obtemos que $$\angle O_C O_D O_A = 180 – \angle ABC$$. Assim, suponha, por absurdo, que $$O_A O_B O_C O_D$$ é cíclico. Teríamos que:
$$\angle O_A O_B O_C + \angle O_C O_D O_A = 180^{o} \iff 180 – \angle CDA + 180 – \angle ABC = 180 $$
$$\iff \angle ABC + \angle CDA = 180 \iff ABCD$$ é cíclico.
Porém, se $$ABCD$$ for cíclico, $$O_A$$, $$O_B$$, $$O_C$$ e $$O_D$$ coincidirão todos com o circuncentro de $$ABCD$$, e não serão pontos distintos, absurdo! Logo, $$O_A O_B O_C O_D$$ não pode ser cíclico, finalizando a prova.