PROBLEMA 6
Seja $$n \ge 5$$ inteiro. O polígono convexo $$P = A_1A_2 . . . A_n$$ é bicêntrico, ou seja, tem círculo inscrito e circunscrito. Defina $$A_{i+n} = A_i$$ para todo $$i$$ inteiro (ou seja, todos os índices são tomados módulo $$n$$). Suponha que para todo $$i, 1 \le i \le n$$, as semirretas $$A_{i-1}A_i$$ e $$A_{i+2} A_{i+1}$$ se encontram no ponto $$B_i$$. Seja $$\omega_i$$ o circuncírculo de $$B_iA_iA_{i+1}$$. Prove que existe um círculo tangente simultaneamente a todos os $$n$$ círculos $$\omega_i, 1 \le i \le n$$.
Solução por Caio Hermano:
Sejam $$\Omega$$, $$O$$, $$\omega$$ e $$I$$ o circuncírculo, o circuncentro, o incírculo e o incentro de $$P=A_1A_2 . . . A_n$$, respectivamente. Além disso, defina $$M_i$$ o ponto médio de $$A_iA_{i+1}$$, $$I_i$$ o incentro do $$\triangle A_iB_iA_{i+1}$$, $$L_i=B_iI_i \cap \omega_i$$ o ponto médio do arco $$A_iA_{i+1}$$ que não contém $$B_i$$, $$P_i=L_iM_i \cap I_iI_{i+1}$$ e, por fim, $$Q_i=L_{i+1}M_{i+1} \cap I_iI_{i+1}$$.
Primeiramente, note que $$O, L_i, M_i$$ são colineares, pois estão todos sobre a mediatriz do lado $$A_iA_{i+1}$$, e $$I_i, A_{i+1}, I_{i+1}$$ são colineares, pois estão todos sobre a bissetriz externa do ângulo $$\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$$ de $$P$$. Ademais, veja que $$I$$ é o $$B_i$$-exincentro do triângulo $$\triangle A_iB_iA_{i+1}$$, pois $$\omega$$ é tangente ao lado $$A_iA_{i+1}$$ e às extensões dos lados $$A_iB_i$$ e $$B_iA_{i+1}$$. Daí, temos que $$L_iI_i=L_iI=L_iA_i=L_iA_{i+1}$$, para todo $$i=1,2,…,n$$.
Sabemos que $$I_1L_1=L_1I$$ e $$I_2L_2=L_2I$$, então $$L_1L_2$$ é base média relativa ao vértice $$I$$ do triângulo $$I_1II_2$$. Portanto, $$L_1L_2 \parallel I_1I_2$$. Dessa forma, perceba que:
$$\angle OL_1L_2=\angle OP_1Q_1 =$$ $$\angle MP_1A_2 = 90-\angle M_1A_2P_1=$$ $$90-\angle P_1A_2B_1 = 90-\angle Q_1A_2M_2 =$$ $$\angle M_2Q_1A_2 = \angle OQ_1P_1 = \angle OL_2L_1$$ $$\Rightarrow \triangle OL_1L_2$$ é isósceles $$\Rightarrow OL_1=OL_2$$.
Analogamente, podemos provar que $$OL_i = OL_{i+1}$$, para todo $$i=1,2,…,n$$. Considere, então, $$\psi$$ a circunferência de centro $$O$$ e raio $$OL_1$$. Observe que, $$L_i \in \psi$$ e $$O, L_i, O_i$$, em que $$O_i$$ é o centro de $$\omega_i$$ são colineares, pois estão todos sobre a mediatriz de $$A_iA_{i+1} \Rightarrow \psi$$ e $$\omega_i$$ são tangentes em $$L_i$$. Portanto, a circunferência $$\psi$$ é tangente simultaneamente a todas as $$n$$ circunferências $$\omega_i$$, para $$i=1,2,…,n$$ $$_{\blacksquare}$$