Por Bruna Lopes
Até agora, já vimos diversas formas de indicar a posição angular de objetos em diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Mas, se existem tantos sistemas de referência que podemos adotar, já alguma forma de relacioná-los de acordo com a nossa vontade? Vamos ver, ao longo desse tópico, uma forma de transformar coordenadas em um determinado sistema para outro utilizando cálculo com matrizes.
Consideremos o Sistema de coordenadas S=(O,E) esquematizado, onde O é o ponto (0,0,0) e $$E=(\vec i, \vec j, \vec k)$$ é base canônica (ortonormal). Vamos tomar, inicialmente, o ponto P como tendo coordenadas iniciais P=(x,y,z), onde z=0. O ângulo entre $$\vec{OP}$$ e Ox é, inicialmemte, $$\phi$$.
Se aplicarmos uma rotação em tal sistema S=(x, y, z), teremos um novo sistema, que vamos chamar de S’=(x’, y’, z’). Esse novo sistema de coordenadas, por sua vez, possui Oz=Oz’ e Ox’ e Oy’ deslocados de um ângulo $$\theta$$, em sentido anti-horário com relação aos eixos iniciais. Assim, o ponto P, que possuia coordenadas (x, y, z) no início, também será rotacionado e terá, no final, coordenadas (x’, y’, z’) que, como veremos, podem ser facilmente relacionadas. Vamos esquematizar:
Temos que as novas coordenadas podem ser obtidas por apenas geometria simples. Dado que $$\vec{OP}=\vec{r}$$ e que $$r^2=x^2+y^2$$, então, em função dessa distância, podemos obter as coordenadas para os dois sistemas
$$x=r\cos{\theta}$$
$$y=r\sin{\theta}$$
$$z=z$$
$$x’=r\cos{\theta+\phi}$$
$$y’=r\sin{\theta+\phi}$$
$$z’=z$$
Lembrando que o seno e o cosseno de uma soma de ângulos é, respectivamente dado por $$\sin(a+b)=\sin a \sin b+ \sin b \cos \$$ e $$\cos(a+b)= \cos a \cos b – \sin a \sin b$$, podemos substituir nas relações e encontraremos:
$$x=r\cos{\theta}$$
$$y=r\sin{\theta}$$
$$z=z$$
$$x’=r\cos{\theta}\cos{\phi} – r\sin{\theta}\sin{\phi}$$
$$y’=r\sin{\theta}\cos{\phi}+r\sin{\phi}\cos{\theta}$$
$$z’=z$$
$$\Longrightarrow$$
$$x=r\cos{\theta}$$
$$y=r\sin{\theta}$$
$$z=z$$
$$x’=\cos{\phi}x – \sin{\phi}y$$
$$y’=\sin{\phi}x+\cos{\phi}y$$
$$z’=z$$
Podemos escrever as coordenadas do ponto P em forma matricial, também. Podemos notar que :
$$\begin{bmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$
Onde
$$ \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$$$=R_z(\phi)$$
chamamos de Matriz de Rotação ao redor do eixo z. Temos resultados semelhantes para demais rotações ao redor dos outros eixos, as quais não demonstraremos pois o processo é análogo ao que fizemos para a rotação ao redor de Oz.
$$R_x(\phi)= \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\ 0 & \cos \phi &-\sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$$
$$R_y(\phi)= \begin{bmatrix} \cos \phi1 &0 &-\sin \phi \\ 0 & 1 &1 \\ \sin \phi & 0 & \cos \phi \end{bmatrix}$$
$$R_z(\phi)= \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$