Soluções Astronomia - Semana 66

INICIANTE

$T\cdot \lambda_{max} =2.898\cdot 10^{-3}$

$T=\dfrac {2.898\cdot 10^{-3}}{550 \cdot 10^{-9}}$

$T=5269K$

$T^4\cdot \sigma = F$

$F=5269^4 \cdot 5.67 \cdot 10^{-8}$

$F=4.37 \cdot 10^7$

$L=F\cdot 4\pi \cdot R_{Sol}^2$

$L=4.37 \cdot 10^7\cdot 4\pi \cdot (6.96 \cdot 10^8)^2$

$L=2.66 \cdot 10^{26}$

 

INTERMEDIÁRIO

Existem 2 situações que devemos analisar:

Situação 1

Considerando apenas o limite de frequências captadas pelo aparato, utilizamos a frequência mínima de modo a obter o maior redshift possível:

$z=\frac{f_0-f}{f_0}$ $\rightarrow$ $z=\frac{1,42-1,32}{1,42}=0,07$

Situação 2

Agora analisaremos o menor fluxo que o receptor consegue captar. A partir disto, podemos encontrar a distância do objeto à Terra e assim descobrir seu redshift. Sabemos que:

$v=H_0 d \rightarrow d=\frac{c z}{H_0}$

Assim, a densidade de fluxo da galáxia será:

$S=\frac{L}{4 \pi d^2 \Delta f}=\frac{L H_0^2}{4 \pi \Delta f c^2 z^2} \geq S_{max}=0,5 . 10^{-26}$

Assim, encontramos o máximo z:

$z=\frac{H_0}{c} (\frac{L}{4 \pi \Delta f S_{max}})^{0,5}=\frac{72}{2,99 . 10^5 . 3,08 . 10^{22}} (\frac{10^{28}}{4 \pi . 10^6 . 0,5 . 10^{-29}})^{0,5} \rightarrow z=0,098$

 

Comparando os dois resultados, chegamos à conclusão de que o máximo redshift é z=0,098.

AVANÇADO

a) No referencial da Terra, nenhum efeito relativístico ocorre, já que os valores foram tomados nesse referencial. Assim:

$t=\frac{l}{v_A+v_B} = 1s$

b) Para encontrar as coordenadas de $B$ no referencial de $A$, podemos utilizar as transformações de Lorentz: (aqui você pode refrescar sua memória)

$\Delta x' = \gamma (\Delta x - v_A \Delta t)$

$\Delta t' = \gamma (\Delta t - \frac{v_A \Delta x}{c^2})$

Onde $\Delta x$ é a distância percorrida pelo objeto desejado, no caso a nave $B$, no referencial da Terra; e $\Delta x'$ é a distância percorrida pelo mesmo objeto, a nave $B$, no referencial de A.

Logo, velocidade de $B$ no referencial de $A$ é:

$v'_B=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}= \frac{\Delta x - v_A \Delta t}{\Delta t - \frac{v_A \Delta x}{c^2}}$

$\Rightarrow v'_B=\frac{v_B-v_A}{1-\frac{v_A v_B}{c^2}} = \frac{-0,6c-0,8c}{1-(-0,6c)(0,8c)/c^2}=-0,95c$

Onde orientei o crescimento para a direita como postivo e utilizei dois algarismos significativos, assim como o enunciado.

Fica claro que, no referencial de $B$, todas as contas serão análogas, havendo uma mudança somente do sinal de $v'_A$ que fica positivo (indo para a direita)

c) Um jovem gafanhoto pode até dizer: "como as velocidades relativas possuem o mesmo módulo, então os tempos tem que valer o mesmo valor para ambos os referenciais!". Porém ele estaria enganado! A visualização fica mais fácil vendo no referencial da Terra.

Pela dilatação do tempo: $t'=\frac{t}{\gamma}$, onde $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ . Logo:

$t_A=t \sqrt{1-\frac{v_A^2}{c^2}} = 3 \cdot 0,6=1,8s$

$t_B=t \sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2}} = 3 \cdot 0,8=2,4s$