ONC 2024 – Segunda Fase – Nivel D

Escrito por Lucas Praça, Caio Yamashita, Alexandre Monte, Jailson Henrique e Guilherme Lins

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Questão 1

A tabela periódica apresenta sua organização baseada na ordem crescente do número atômico dos elementos. Como primeiro elemento, apresenta-se o hidrogênio, com apenas um próton e massa atômica próxima a 1,008 u. Na Terra, o hidrogênio é principalmente encontrado como um dos componentes em moléculas orgânicas e também na água. Já na forma de gás, como uma molécula diatômica, o hidrogênio pode ser usado para produção de energia, seja em sistemas mecânicos de combustão ou em células à combustível (geração de energia elétrica). Ainda sobre o elemento de apenas um próton, elevada quantidade de energia pode ser liberada na chamada bomba de hidrogênio. Trata-se de um artefato termonuclear baseado em isótopos de hidrogênio e que, após detonação, tem em sua principal reação o consumo de dois átomos, a formação de ⁴He, a liberação de um nêutron e a liberação de quantidade de energia maior que a obtida nas bombas nucleares de fissão.

Utilizando-se das informações fornecidas, responda às questões abaixo.

a) Qual o tipo de reação nuclear que ocorre na bomba de hidrogênio? Apresente equação da reação nuclear que justifique a formação de ⁴He na chamada bomba de hidrogênio.

b) Para a bomba nuclear, a energia é proveniente do rearranjo no núcleo dos átomos. Nesse contexto e do ponto de vista da composição da matéria, qual a principal fonte de energia quando essa é obtida da combustão do gás metano (CH₄)? Apresente duas possíveis equações balanceadas para a combustão incompleta do metano para justificar sua resposta.

Solução

a) A reação é de fusão nuclear entre dois isótopos do hidrogênio, o deutério ( $^{2}_{1}H$ ) e o trítio ( $^{3}_{1}H$ ). A equação nuclear é:

$^{2}_{1}H + ^{3}_{1}H \rightarrow ^{4}_{2}He + ^{1}_{0}n$

b) A principal fonte de energia na combustão do metano é o rearranjo das ligações químicas (quebra de ligações C-H e formação de novas ligações mais estáveis). Duas equações balanceadas para combustão incompleta:

1. Formação de monóxido de carbono:

$2CH_4 + 3O_2 \rightarrow 2CO + 4H_2O$

2. Formação de carbono sólido (fuligem):

$CH_4 + O_2 \rightarrow C + 2H_2O$

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Assunto

Química – Reações Nucleares e Combustão

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Gabarito

Respostas:

a) Fusão nuclear: $^{2}_{1}H + ^{3}_{1}H \rightarrow ^{4}_{2}He + ^{1}_{0}n$

b) Rearranjo de ligações químicas. Equações: $2CH_4 + 3O_2 \rightarrow 2CO + 4H_2O$ e $CH_4 + O_2 \rightarrow C + 2H_2O$

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Questão 2

Matematicamente, uma das formas de interpretação das transformações químicas é por meio de conceitos de equilíbrio químico. Em uma reação química em equilíbrio, reações diretas e opostas ocorrem na mesma velocidade, dando origem a uma condição aparentemente estática em que reagentes e produtos estão constantemente se convertendo. De posse dos valores matemáticos desse tipo de equilíbrio, um cientista é capaz não apenas de prever o resultado de certas reações, mas também de manipular fatores que possam levar ao maior rendimento na formação de produtos. Em química analítica, conceitos de equilíbrio químico e propriedades da matéria podem ser utilizados para identificação da presença de uma substância em uma dada amostra. Quando se considera uma solução aquosa homogênea e acidificada (tampão pH = 2), a presença de sais solúveis de bário, por exemplo, pode ser verificada pela adição de gotas de uma solução contendo sulfato de sódio à amostra. Para uma nova alíquota da mesma amostra, a presença de Fe $^{2+}$ pode ser verificada pela adição de solução diluída de permanganato de potássio (KMnO $_4$ ), em que, caso haja presença de Fe $^{2+}$ , será possível constatação de uma reação redox por meio da perda de coloração da solução de permanganato. Já a presença de amônio (NH $_4^+$ ), pode essere verificada pelo ajuste de pH da amostra e avaliação da liberação de gás com odor característico de amônia.

Fonte: CurTiPot (adaptado)

Considere K $_{ps}$ (BaSO $_4$ ) = 1,10 × 10 $^{-10}$

Utilizando-se das informações fornecidas, responda às questões abaixo.

a) Ao adicionar 1,00 mL de uma solução 0,100 mol L $^{-1}$ de sulfato de sódio a 4,00 mL de uma solução acidificada contendo íons bário (concentração de íons bário no volume final antes da reação = 0,100 mol L $^{-1}$ ), o que se espera observar? Apresente a equação da reação e cálculos para justificar sua resposta.

b) Ao tentar identificar se uma alíquota da amostra descrita no texto continha amônio, um estudante adicionou gotas de hidróxido de sódio 0,100 mol L $^{-1}$ a esta e realizou adequado aquecimento. Embora a amostra contivesse alta concentração de íons amônio, o estudante não detectou odor característico de amônia e concluiu, erroneamente, que a amostra não continha íons amônio. Utilizando o gráfico e composição da amostra como referência, qual o erro possivelmente cometido pelo estudante? Justifique sua resposta. Desconsidere limitações olfativas, presença de contaminantes na amostra e também íons metálicos que pudessem reagir com a amônia ou amônio.

Solução

a) Observa-se a formação de precipitado devido à formação do sulfato de bário insolúvel:

$Ba^{2+} + SO_4^{2-} \rightarrow BaSO_4(s)$

Cálculos do Kps:

Volume total = 1,00 mL + 4,00 mL = 5,00 mL

Concentração de Ba $^{2+}$ final = 0,100 mol L $^{-1}$

Concentração de SO $_4^{2-}$ adicionada:

$[SO_4^{2-}] = \frac{1,00 \times 0,100}{5,00} = 0,0200 \text{mol L}^{-1}$

Produto iônico = [Ba $^{2+}$ ][SO $_4^{2-}$ ] = (0,100)(0,0200) = 2,00 × 10 $^{-3}$

Como 2,00 × 10 $^{-3}$ > K $_{ps}$ = 1,10 × 10 $^{-10}$ , há precipitação do BaSO $_4$ .

b) Como a solução é acidificada e tamponada em pH=2, a quantidade de base (NaOH) adicionada pelo estudante foi insuficiente para atingir o pH mínimo necessário para a conversão eficiente de NH $_4^+$ em NH $_3$ . Conforme o gráfico, é necessário elevar o pH para aproximadamente 9 para que haja diferença significativa na fração molar de NH $_3$ , onde o equilíbrio:

$NH_4^+ \rightleftharpoons NH_3 + H^+$

se desloca para a direita. Mesmo com aquecimento (que favorece a desprotonação por ser endotérmico), sem atingir pH próximo a 9 não há formação suficiente de NH $_3$ gasoso para detecção pelo odor característico.

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Assunto

Química – Equilíbrio Químico e Análise Qualitativa

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Gabarito

Respostas:

a) Formação de precipitado de BaSO $_4$ (cálculos mostram PI > K $_{ps}$ )

b) Adição insuficiente de base para atingir pH~9 necessário para conversão eficiente de NH $_4^+$ em NH $_3$

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Questão 3

Leia o texto e veja o mapa a seguir.

Durante os anos de 1825 e 1828 ocorreu a Guerra da Cisplatina, ou Guerra del Brasil, como chamam na Argentina e Uruguai atualmente. Foi um conflito travado entre o Brasil e as Províncias Unidas do Rio da Prata (um corpo político que hoje podemos chamar de Argentina e Uruguai). O motivo era a disputa que vinha de anos pelo território da Banda Oriental (hoje Uruguai).

Segundo o professor João Paulo Garrido Pimenta, “a região conheceu numerosos conflitos, autoridades e governos, tendo sido parcialmente transformada, em 1821, na portuguesa Província Cisplatina, finalmente incorporada ao Império do Brasil em 1824”. Contudo, o então governo independente republicano de Buenos Aires nunca reconheceu essa anexação.

Ambas as partes envolvidas resultaram sem vitórias, por mediação do Reino Unido, que possuía interesse na paz para suas investidas comerciais na região. Além disso, ambos os governos foram enfraquecidos, devido às quedas de seus respectivos chefes de Estado após o fim da guerra. A resolução mais importante, porém, foi a criação do Uruguai, um novo corpo político independente que vigora até os dias de hoje.

Fonte: filch.usp.br

A Guerra da Cisplatina faz parte de um conjunto de tensões e conflitos territoriais na América do Sul, no século XIX. Sendo assim, a partir dos documentos expostos e seus conhecimentos:

a) Cite outra disputa territorial, do século XIX, na América do Sul e identifique a região disputada.

b) Explique a importância de disputas territoriais no período, como a Guerra Cisplatina, para formação dos Estados na América do Sul.

Solução

a) Guerra do Pacífico (1879-1884): Conflito entre Chile, Bolívia e Peru pela região do Deserto de Atacama, rica em depósitos de salitre e guano. A região disputada compreendia as províncias de Antofagasta (então boliviana) e Tarapacá (peruana).

b) As disputas territoriais foram cruciais para:

Definição de fronteiras: Estabeleceram os limites territoriais dos novos Estados-nação
Construção identitária: Forjaram identidades nacionais contra “inimigos externos”
Centralização do poder: Fortaleceram governos centrais contra regionalismos
Diplomacia internacional: Exigiram reconhecimento de soberanias por potências europeias
Soluções inovadoras: Criaram Estados-tampão como o Uruguai para evitar conflitos futuros

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Assunto

História – Formação dos Estados Nacionais na América Latina

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Gabarito

a) Guerra do Pacífico / Região do Deserto de Atacama

b) Definição de fronteiras e consolidação dos Estados nacionais

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Questão 4

Leia os dois documentos a seguir.

Documento 1 – Metodologia e pré-história da África

Durante muito tempo, mitos e preconceitos de toda espécie esconderam do mundo a real história da África. As sociedades africanas passavam por sociedades que não podiam ter história. Apesar de importantes trabalhos efetuados desde as primeiras décadas do século XX por pioneiros como Leo Frobenius, Maurice Delafosse e Arturo Labriola, um grande número de especialistas não africanos, ligados a certos postulados, sustentavam que essas sociedades não podiam ser objeto de um estudo científico, notadamente por falta de fontes e documentos escritos.

Com efeito, havia uma recusa a considerar o povo africano como o criador de culturas originais que floresceram e se perpetuaram, através dos séculos, por vias que lhes são próprias e que o historiador só pode apreender renunciando a certos preconceitos e renovando seu método.

M’BOW, Amadou-Mahtar. História geral da África, I: Metodologia e pré-história da África. Brasília: UNESCO, 2010, p. 22.

Documento 2 – O perigo de uma história única

Então, após ter passado vários anos nos EUA como uma africana, eu comecei a entender a reação de minha colega para comigo. Se eu não tivesse crescido na Nigéria, e se tudo que eu conhecesse sobre a África viesse das imagens populares, eu também pensaria que a África era um lugar de lindas paisagens, lindos animais e pessoas incompreensíveis, lutando em guerras sem sentido, morrendo de pobreza e AIDS, incapazes de falar por eles mesmos e esperando serem salvos por um estrangeiro branco e gentil. […] Histórias importam. Muitas histórias importam. Histórias têm sido usadas para expropriar e ressaltar o mal. Mas histórias podem também ser usadas para capacitar e humanizar. Histórias podem destruir a dignidade de um povo, mas histórias também podem reparar essa dignidade perdida.

ADICHIE, C. N. O perigo de uma história única. São Paulo: Companhia das Letras, 2019.

Considerando os documentos e seus conhecimentos, responda:

a) Identifique, no Documento 1, qual justificativa foi utilizada para não reconhecer as sociedades e civilizações africanas como possíveis de serem estudadas pela ciência histórica.

b) A partir dos documentos, pode-se afirmar que a ciência histórica do século XIX e XX era eurocêntrica? Justifique.

c) Explique como a ciência histórica hoje tem sido fundamental para reparar a “dignidade perdida” de sociedades e civilizações que, no passado, foram desconsideradas da produção científica.

Solução

a) A justificativa principal era a suposta ausência de fontes escritas, que levou estudiosos a considerarem impossível um estudo científico das sociedades africanas, ignorando outras formas de registro histórico.

b) Sim, era profundamente eurocêntrica:

Estabelecia a civilização europeia como padrão universal
Desqualificava formas não-ocidentais de conhecimento e organização social
Negava a historicidade de sociedades sem escrita
Justificava o colonialismo como “missão civilizatória”
Ignorava avançadas civilizações africanas como o Reino do Congo e o Império Mali

c) A ciência histórica contemporânea repara esta dignidade através de:

História oral: Valorização de tradições narrativas africanas
Arqueologia decolonial: Releitura de sítios como Grande Zimbabwe
História da diáspora: Estudo do tráfico transatlântico a partir de perspectivas africanas
Projetos como a História Geral da África da UNESCO: Produção de conhecimento por pesquisadores africanos
Revisão curricular: Inclusão de autores africanos em programas acadêmicos
Museologia crítica: Devolução de artefatos e recontextualização de coleções

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Assunto

História – Historiografia e Decolonialidade

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Gabarito

a) Falta de fontes escritas

b) Sim, com características eurocêntricas

c) Valorização de novas fontes e perspectivas

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Questão 5

Um fotômetro fotoelétrico é um dispositivo utilizado para medir a intensidade de luz ou radiação eletromagnética em diferentes comprimentos de onda. Ele funciona convertendo a luz incidente em corrente elétrica por meio do efeito fotoelétrico, permitindo a quantificação da energia luminosa recebida. É comumente utilizado em pesquisas científicas, astronomia, fotografia e em aplicações industriais, como controle de qualidade e espectroscopia. A seguir vemos o esquema simplificado de telescópio refrator com um fotômetro acoplado.

Fonte: astro.if.ufrgs.br (adaptado)

Suponha que este fotômetro fotoelétrico acoplado a um telescópio A registre 100.000 contagens de fótons vindos de uma estrela em 1 segundo, já descontadas as contagens do ruído do detector e do céu.

Em condições idênticas de observação, detecção e registro, e admitindo não haver perdas significativas entre os telescópios, calcule o número de contagens deste mesmo fotômetro acoplado a um:

a) telescópio B com a mesma distância focal do telescópio A, porém com o triplo da sua abertura.

b) telescópio C com a mesma abertura do telescópio A, porém com o dobro da sua distância focal.

Solução

a) Telescópio B (tripla abertura):

A quantidade de luz coletada é proporcional à área da abertura. Como a área é proporcional ao quadrado do diâmetro:

$\frac{A_B}{A_A} = \left( \frac{D_B}{D_A} \right)^2 = 3^2 = 9$

Portanto, o fotômetro registrará:

$100.000 \times 9 = \boxed{900.000} \, \text{contagens}$

b) Telescópio C (dobro da distância focal):

A irradiância (energia por unidade de área) é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Dobrando a distância focal, a mesma energia é distribuída em uma área 4 vezes maior:

$I \propto \frac{1}{f^2}$

$\frac{I_C}{I_A} = \left( \frac{f_A}{f_C} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 0.25$

Portanto, o fotômetro registrará:

$100.000 \times 0.25 = \boxed{25.000} \, \text{contagens}$

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Assunto

Astronomia – Fotometria e Óptica Telescópica

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Gabarito

a) 900.000 contagens

b) 25.000 contagens

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Questão 6

Um sistema estelar é chamado de binário quando duas estrelas estão ligadas gravitacionalmente e ambas orbitam o centro de massa (ou baricentro) do sistema.

Podemos estimar as massas de sistemas estelares binários usando a reformulação de Newton da Terceira Lei de Kepler. Nessa situação de um sistema binário, os dois objetos estão em revolução mútua, com período P, em torno do baricentro que está relacionado ao semieixo maior D da órbita de um em relação ao outro, de acordo com esta equação:

$D^3 = (M_1 + M_2) P^2$

Onde D está em unidades astronômicas (UA), P é medido em anos e M₁ + M₂ é a soma das massas das duas estrelas em unidades da massa do Sol.

Sendo assim, calcule:

a) A massa de um sistema binário cujas as estrelas estão separadas de 10 UA e período orbital de 10 anos.

b) O período orbital de um sistema binário com uma massa total de 16 massas solares e separadas por 4 UA.

Solução

a) Massa do sistema (D = 10 UA, P = 10 anos):

Usando a fórmula:

$D^3 = (M_1 + M_2) P^2$

$(10)^3 = (M_1 + M_2) \times (10)^2$

$1000 = (M_1 + M_2) \times 100$

$M_1 + M_2 = \frac{1000}{100} = \boxed{10} \, \text{massas solares}$

b) Período orbital (M₁ + M₂ = 16 M_☉, D = 4 UA):

$D^3 = (M_1 + M_2) P^2$

$(4)^3 = 16 \times P^2$

$64 = 16 P^2$

$P^2 = \frac{64}{16} = 4$

$P = \sqrt{4} = \boxed{2} \, \text{anos}$

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Assunto

Astronomia – Mecânica Celeste e Sistemas Binários

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Gabarito

a) 10 massas solares

b) 2 anos

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Questão 7

Maria Tereza Jorge Pádua, uma bióloga e ambientalista brasileira, desempenhou um papel essencial na criação de áreas protegidas e na conservação da biodiversidade no Brasil. Seu trabalho foi fundamental para a proteção de habitats naturais, promovendo a preservação da avifauna e a diversidade biológica. A diversidade de espécies leva em consideração tanto a riqueza de espécies quanto a abundância relativa de cada espécie.

Você está participando de um estudo sobre a biodiversidade de aves em uma reserva natural. A tabela a seguir mostra o número de indivíduos de diferentes espécies de aves registrados em diferentes tipos de habitat dentro da reserva:

Habitat	Ave A	Ave B	Ave C	Ave D	Total
Floresta densa	10	15	5	40	70
Campo aberto	2	10	0	8	20
Áreas alagadas	5	5	10	0	20
Área litorânea	7	12	3	10	32

Fonte: Equipe ONC

a) Com base na tabela, quais habitats apresentam a maior riqueza de espécies? Justifique.

b) Qual habitat é mais adequado para a preservação da espécie C, considerando também o impacto positivo para as outras espécies presentes? Explique.

Solução

a) Os habitats com maior riqueza de espécies (número de espécies diferentes presentes) são:

Floresta densa: 4 espécies presentes (A, B, C, D)
Área litorânea: 4 espécies presentes (A, B, C, D)

Justificativa: Estes são os únicos habitats que apresentam todas as quatro espécies (A, B, C e D) registradas. O campo aberto não possui a espécie C (0 indivíduos) e as áreas alagadas não possuem a espécie D (0 indivíduos).

b) Para a preservação da espécie C considerando também o impacto positivo nas outras espécies, o habitat mais adequado é a floresta densa.

Justificativa: Embora as áreas alagadas tenham a maior população individual da espécie C (10 indivíduos), a floresta densa oferece um ambiente mais equilibrado e diversificado para toda a comunidade, com:

Presença de todas as 4 espécies (diversidade completa)
População da espécie C presente (5 indivíduos)
Maior diversidade geral (70 indivíduos no total)
Distribuição mais balanceada entre as populações
Melhor representatividade de todas as espécies da comunidade

As áreas alagadas, apesar de terem mais indivíduos da espécie C, não possuem a espécie D e têm uma diversidade total muito menor (20 indivíduos), indicando um ambiente menos adequado para a preservação da comunidade como um todo.

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Assunto

Biologia – Ecologia e Conservação da Biodiversidade

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Gabarito

a) Floresta densa e área litorânea (4 espécies cada)

b) Floresta densa (melhor equilíbrio entre todas as espécies)

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Questão 8

As angiospermas são o grupo de plantas com maior diversidade do planeta, com cerca de 300.000 espécies descritas. A maior parte dessa riqueza é dividida em duas grandes categorias, de acordo com características fundamentais da organização dos seus tecidos e da morfologia caulinar, radicular e floral. Observe o esquema abaixo que mostra secções transversais do caule de angiospermas pertencentes às duas divisões, A e B, dentro desse grupo.

Fonte: Equipe ONC

a) Compare brevemente os dois grupos, A e B, relacionando em sua resposta as formas típicas para cada tipo de raiz, a venação das folhas e a quantidade de peças em cada verticilo floral.

b) Qual das duas plantas, A ou B, irá passar pelo crescimento em espessura característico do crescimento secundário? Quais são os tecidos meristemáticos responsáveis por esse crescimento nos tecidos vasculares e na casca?

Solução

a) Comparação detalhada entre os grupos:

Grupo A – EUDICOTILEDÔNEAS (ou Dicotiledôneas):

Raiz: Sistema pivotante (axial) – uma raiz principal mais grossa que as laterais, permitindo maior penetração no solo
Venação foliar: Nervuras reticuladas (ramificadas em rede) – padrão complexo que otimiza a distribuição de nutrientes
Flor: Peças florais geralmente em múltiplos de 4 ou 5 (tetrâmeras ou pentâmeras) – exemplo: rosas (5 pétalas), brássicas (4 pétalas)
Organização vascular: Feixes vasculares organizados em anel característico, com xilema voltado para o centro e floema para a periferia
Sementes: Dois cotilédones (folhas embrionárias) que armazenam nutrientes

Grupo B – MONOCOTILEDÔNEAS:

Raiz: Sistema fasciculado (cabeleira) – várias raízes de espessuras semelhantes, formando uma rede superficial
Venação foliar: Nervuras paralelas – padrão simples onde as veias correm paralelas ao longo da folha
Flor: Peças florais geralmente em múltiplos de 3 (trímeras) – exemplo: lírios (3 pétalas), orquídeas (3 sépalas e 3 pétalas)
Organização vascular: Feixes vasculares dispersos irregularmente no parênquima, sem organização circular
Sementes: Apenas um cotilédone

Exemplos comuns:

Eudicotiledôneas: Feijão, rosa, girassol, tomate, café
Monocotiledôneas: Milho, arroz, trigo, orquídea, palmeira

b) Crescimento secundário – Explicação detalhada:

Apenas o Grupo A (Eudicotiledôneas) apresenta crescimento secundário significativo em espessura.

Mecanismo do crescimento secundário:

O crescimento é realizado por dois meristemas laterais (secundários):

1. Câmbio Vascular:

Localizado entre o xilema e o floema primários
Produz xilema secundário (lenho) para o interior – forma a madeira
Produz floema secundário (líber) para o exterior – forma o tecido condutor de seiva elaborada
Responsável pelo aumento do diâmetro do caule e pela formação dos anéis de crescimento

2. Felogênio:

Localizado na região mais externa, geralmente no córtex
Produz súber (tecido morto para fora) – forma a cortiça protetora
Produz feloderme (tecido vivo para dentro) – camada mais interna da periderme
Responsável pela formação da periderme (casca) que substitui a epiderme

Por que as Monocotiledôneas não têm crescimento secundário?

As monocotiledôneas possuem feixes vasculares dispersos e não contínuos, o que impede a formação de um câmbio vascular contínuo. Seu crescimento em espessura é limitado ou atípico (como em palmeiras, que engrossam por divisão celular difusa).

Importância ecológica: O crescimento secundário permite que árvores (eudicotiledôneas) atinjam grandes portes e vivam muitos anos, formando ecossistemas florestais complexos.

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Assunto

Biologia – Morfologia Vegetal: Angiospermas, Crescimento Secundário, Meristemas

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Gabarito

a) Eudicotiledôneas: raiz pivotante, nervuras reticuladas, flores 4-5 meras; Monocotiledôneas: raiz fasciculada, nervuras paralelas, flores 3 meras

b) Grupo A (Eudicotiledôneas); Câmbio vascular (tecidos vasculares) e felogênio (casca)

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Questão 9

Assim como a Lua, um satélite refletor está em órbita ao redor da Terra. Sua trajetória elíptica possui um raio médio de 10 mil km, 1/36 do raio médio da trajetória da Lua. Uma extremidade desse satélite é um contra-peso e a outra, é um espelho gaussiano cuja distância focal mede 2 mil km.

Fonte: Equipe ONC

Fonte: Imagem de domínio público

a) Qual o período de revolução desse satélite refletor? Apresente sua resposta em um número inteiro de horas e o resto, em minutos.

b) Se a distância do ponto E ao EP é 1100 km, qual a distância do satélite ao ponto E?

Solução

a) Período orbital do satélite:

Aplicando a Terceira Lei de Kepler:

$\frac{T_{\text{sat}}^2}{T_{\text{Lua}}^2} = \frac{R_{\text{sat}}^3}{R_{\text{Lua}}^3}$

Dado: $R_{\text{sat}} = \frac{1}{36} R_{\text{Lua}}$ e $T_{\text{Lua}} = 30$ dias

$\frac{T_{\text{sat}}^2}{30^2} = \left(\frac{1}{36}\right)^3$

$T_{\text{sat}}^2 = 900 \times \frac{1}{46656}$

$T_{\text{sat}} = \sqrt{\frac{900}{46656}} = \frac{30}{216} = \frac{5}{36} \text{ dias}$

Convertendo para horas:

$\frac{5}{36} \times 24 = \frac{120}{36} = 3,333... \text{ horas}$

$3 \text{ horas} + 0,333... \times 60 = 3 \text{ horas} + 20 \text{ minutos}$

b) Distância do satélite ao ponto E:

Usando a equação de Gauss para espelhos:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

Dados: $f = 2000 \text{ km}$ , $d_i = \frac{d_o}{2}$ (pois EP-E = 2×EP-R)

$\frac{1}{2000} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o/2} = \frac{1}{d_o} + \frac{2}{d_o} = \frac{3}{d_o}$

$d_o = 3 \times 2000 = 6000 \text{ km} = 6,0 \text{ mil km}$

A distância de 1100 km (ponto E ao EP) não é usada diretamente no cálculo, mas é consistente com a geometria do problema.

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Assunto

Astronomia – Mecânica Orbital e Óptica Geométrica

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Gabarito

a) 3 horas e 20 minutos

b) 6,0 mil km

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Questão 10

Um bloco de massa M foi abandonado em um plano inclinado de um ângulo α em relação à horizontal. Esse bloco entra em movimento enfrentando um atrito dinâmico cujo coeficiente mede μ. Em outra montagem, esse mesmo bloco, sobre um plano liso de mesma inclinação que o anterior, foi conectado a outro bloco de massa m através de um fio que tocava na periferia de uma roldana ideal.

Fonte: Equipe ONC

Considerando que a aceleração da gravidade é igual a g, responda às perguntas abaixo sobre as montagens descritas acima.

a) Qual a aceleração do bloco de madeira na montagem sem a roldana? Apresente sua resposta em função dos símbolos das grandezas oferecidas no enunciado.

b) Adotando o símbolo “a” como a aceleração dos blocos na segunda montagem, encontre a equação que apresenta m em função de a, g, M e α.

Solução

a) Aceleração no plano com atrito:

Forças atuantes no bloco:

$P_x = Mg \sin \alpha$ (componente paralela ao plano)