Aula 1 - Empréstimos

Conceitos básicos

O ato de emprestar e tomar dinheiro envolve transferir poder de compra ao longo do tempo. Por exemplo, um agricultor pega um empréstimo para comprar fertilizantes e paga após a colheita ou um trabalhador pode tomar um empréstimo antes de receber seu salário no final do mês.

O tempo é fundamental para conceitos como dinheiro, renda, riqueza, consumo, poupança e investimento.

Dinheiro

O dinheiro é um meio de troca, composto por cédulas, depósitos bancários ou outros instrumentos aceitos como pagamento. Ele permite a troca de bens e serviços e depende da confiança de que será aceito por outros. Mesmo em situações de crise bancária, como no caso da Irlanda, o dinheiro continuou a circular com base na confiança mútua entre pessoas e empresas.

Patrimônio líquido

Patrimônio líquido é o valor máximo que se pode consumir sem recorrer a empréstimos, após quitar dívidas e receber o que lhe devem. Inclui bens como casa, carro e ativos financeiros.

Renda

A renda é o fluxo de dinheiro recebido ao longo de um período, seja por trabalho, investimentos ou governo. É um "fluxo" em contraste com a riqueza, que é um "estoque".

Depreciação

A depreciação é a perda de valor de bens com o tempo ou uso, como a diminuição no valor de um carro ou máquina. Ela reduz o valor do patrimônio, assim como o consumo diminui a poupança.

Poupança e Investimento

A poupança ocorre quando o consumo é menor que a renda líquida ( renda após o desconto das obrigações legais, como imposto de renda, previdência, etc.) aumentando o patrimônio líquido . Em economia, investimento refere-se à compra de bens de capital, como máquinas ou edifícios, e não à compra de ações ou títulos.

Empréstimos

Para entender melhor o processo de empréstimos e poupanças, podemos usar o conceito de conjuntos viáveis e curvas de indiferença. Em situações anteriores, você já deve ter lidado decisões entre objetivos conflitantes, como tempo livre versus notas ou produção de bens. Agora, aplicamos essa mesma análise para escolhas entre consumo presente e futuro.

Assim como abrir mão de tempo livre pode permitir ganhar mais produtos ou melhores notas, renunciar ao consumo imediato pode nos proporcionar mais bens no futuro. Esse trade-off é representado pelo custo de oportunidade — o que você deixa de ter no futuro para consumir agora, ou vice-versa.

Fronteira viável

O processo de empréstimo e poupança nos permite redistribuir a capacidade de consumir ao longo do tempo. Por exemplo, ao pedir um empréstimo, você consome mais agora, mas terá de consumir menos depois para pagar a dívida. O caso de Nicolau ilustra isso. Ela precisa consumir agora, mas só terá dinheiro ($R$100$) no futuro. O gráfico a seguir representa as combinações possíveis de consumo presente e futuro para Nicolau, considerando que ela gasta tudo o que tem.

Esse exemplo reflete como as decisões entre consumo imediato e futuro são feitas com base em preferências (curvas de indiferença) e nas limitações impostas por sua capacidade financeira atual e futura (conjunto viável).

 

Nicolau tem $R$100$ para gastar no futuro. Se ele quiser consumir agora, ele pode pedir emprestado e ajustar seu consumo ao longo do tempo, mas ao custo de uma taxa de juros.

Se a taxa de juros é de $10\%$, Nicolau pode pegar um empréstimo de $R$91$ agora e pagar os $R$100$ no futuro (incluindo os juros). A fórmula do pagamento total é:

$\text{Pagamento} = \text{Principal} + \text{Juros} = 91 + 91r = 91(1 + r) = 100$

Nesse caso, a taxa de juros anual ($r$) é de $10\%$. Nicolau também pode optar por outras combinações de consumo presente e futuro:

• Tomar R$70 emprestado agora e pagar R$77 no futuro, deixando R$23 para gastar no próximo período.
• Tomar R$30 emprestado agora e deixar R$67 para o futuro.

Essas combinações definem a fronteira viável quando a taxa de juros é de $10\%$. Quanto mais Nicolau consumir agora, menos ele terá para gastar no futuro, sendo que o custo de oportunidade de gastar R$1 agora é de R$1,10 no futuro. Esse trade-off é medido pela taxa marginal de transformação (TMT), que no caso de uma taxa de juros de 10%, é de 1,10.

A TMT pode ser entendida como a inclinação da fronteira viável em determinado ponto. Em caso de juros constantes, a taxa pode ser representada por:

$TMT = \left| \frac{\partial C_{\text{depois}}}{\partial C_{\text{agora}}} \right| = 1 + r$

Com uma taxa de juros de $100\%$, Nicolau pode pedir emprestado um valor máximo de $R$50$, pois o pagamento futuro de $R$100$ incluiria $R$50$ de juros sobre o valor emprestado. A fórmula seria:

$\text{Pagamento} = 50 + 50(1) = 100$

Nesse cenário, a fronteira viável se desloca ainda mais para dentro em comparação à taxa de $10\%$, reduzindo ainda mais a capacidade de Nicolau consumir no presente. Ele tem ainda menos opções de consumo presente e futuro, já que o custo de trazer poder de compra para o presente aumentou substancialmente.

Assim como no caso anterior, esse aumento da taxa de juros implica que o custo de oportunidade de consumir no presente é ainda mais alto: para cada Real consumido agora, Nicolau renuncia a dois Real de consumo no futuro, dado que a taxa marginal de transformação (TMT) agora é $1 + r = 2$. Portanto, o preço de trazer o poder de compra para o presente ficou ainda mais caro.

Preferências

Agora, vamos manter constante a taxa de juros em $10\%$ e considerar as preferências de Nicolau por meio de Curvas de Indiferença (CI).

As curvas de indiferença representam combinações de consumo presente e futuro que proporcionam o mesmo nível de satisfação (ou utilidade) a um indivíduo. Cada ponto em uma curva de indiferença reflete uma combinação de consumo em dois períodos (agora e depois) que gera a mesma utilidade, permitindo que o indivíduo seja indiferente entre essas opções.

Quando pensamos no caso de empréstimos ou poupança, como o de Nicolau no exemplo anterior, ele tem que escolher entre consumir hoje ou economizar para consumir mais no futuro. A preferência de Nicolau por uma combinação de consumo agora e depois depende de sua função utilidade, que descreve como ele valoriza o consumo em diferentes períodos.

A Taxa Marginal de Substituição (TMS) mede a disposição do indivíduo de trocar consumo futuro por consumo presente, mantendo o mesmo nível de utilidade. A TMS é dada pela inclinação da curva de indiferença. Formalmente, ela expressa o quanto de consumo futuro Nicolau estaria disposto a sacrificar para obter uma unidade adicional de consumo presente sem alterar sua satisfação total. Dessa forma, a TMS pode ser representada pela inclinação da curva de utilidade:

$TMS = \left( \frac{\partial C_{\text{depois}}}{\partial C_{\text{agora}}} \right)_{U=\text{cte}} = 1 + \rho$

Tal que,  $\rho$ é definido como taxa de desconto, perceba que a mesma varia ao longo da curva de indiferença, entretanto, iremos utilizar apenas a taxa de desconto do ponto ótimo, conforme será explicado.

Otimização

Para decidir o quanto consumir hoje versus depois, Nicolau vai comparar a TMS com a Taxa Marginal de Transformação (MRT), que reflete o custo real de transformar consumo futuro em consumo presente (ou vice-versa) por meio de empréstimos.  A MRT é dada por $1 + r$.

A condição de otimização ocorre quando a TMS é igual à MRT ( segue a mesma lógica do $TMS = RP$ de microeconomia )

$TMS = MRT$

$1 + r = 1 + \rho$

$r = \rho$

Isso significa que Nicolau maximiza sua utilidade ao ajustar seu consumo até o ponto em que a quantidade de consumo futuro que ele está disposto a sacrificar para consumir hoje (TMS) é exatamente igual à quantidade que ele deve sacrificar devido aos juros sobre o empréstimo (MRT). Ou seja, ele para de consumir hoje se os custos (MRT) superarem os benefícios percebidos (TMS).

Esse equilíbrio entre preferências e restrições orçamentárias permite que Nicolau atinja a melhor distribuição de consumo ao longo do tempo, suavizando seu consumo entre o presente e o futuro, conforme descrito nas seções anteriores sobre empréstimos e juros​.

Nota:Cálculo Diferencial não está no syllabus da OBECON, nem da IEO. Dessa forma, não é necessário para a resolução das questões dessas competições. Entretanto, pode ser uma ferramenta de grande utilidade para determinadas questões, principalmente na OBECON.