Soluções - Coletânea para Iniciantes #1
Essas são as soluções referentes à uma de nossas coletâneas. Para acessá-la, clique aqui.
1) Assumimos que o filho do presidente é um agente racional e busca maximizar o lucro de sua pizzaria. Sua função lucro será dada por:
Utilizando os dados do enunciado, podemos encontrar o preço P em função da quantidade Q:
Substituindo o preço e o custo na função do lucro:
Podemos encontrar a quantidade ótima utilizando a fórmula do vértice da parábola:
Alternativamente, se você souber derivadas (o que não é necessário para nenhuma fase da OBECON), pode encontrar derivando a função lucro e igualando a zero:
2) Primeiramente vamos analisar os ganhos de EUclides no primeiro investimento. Ele inicia com 100 reais mas a cada ano ele ganhará 20% de 100 reais, ou seja, 20 reais. Assim, seu total será de 100 + 20t, onde t é o tempo em anos. Já no segundo investimento, ele inicia com os mesmos 100 reais mas a cada ano seu valor sobe em 115%. Assim, seu total será de 100*1,15^t. Queremos encontrar t de forma que 100+20t<100*1,15^t. Podemos dividir os dois lados da equação por 20, resultando em 5+t<5*1,15^t. Infelizmente não há como achar uma solução analítica para o valor exato de t, mas como estamos interessados apenas em valores inteiros, podemos dispor de outras maneiras para aproximar a resposta. Se colocarmos alguns valores na calculadora, percebemos logo que não são necessários valores muito grandes de t. Para t=5, o segundo investimento já tem um rendimento maior, pois 5*1,15⁵ é aproximadamente 10.05, enquanto 5+(5)=10. Colocando então t=4, vemos que o primeiro investimento ainda estaria rendendo mais, pois 5+(4)=9 enquanto 5*1,15⁴ é aproximadamente 8,74. Vale lembrar que esses valores não são o retorno dele, pois inicialmente dividimos a inequação por 20. Sendo assim, apenas a partir de 5 anos seria mais rentável investir na segunda opção.
3) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.
a) A opção que gera uma externalidade positiva para os outros estudantes é o rastreador. À medida que a polícia identifica quem está roubando as mochilas, os roubos tendem a diminuir, e a probabilidade de ter sua mochila roubada diminui para todos.
b) A opção que gera uma externalidade negativa é o cadeado. Se a sua mochila é mais difícil de roubar, o ladrão preferirá outra mochila, o que aumenta a probabilidade de que a mochila de outro estudante qualquer seja roubada.
c) Uma possível regulação adotada pela universidade seria subsidiar o uso de rastreadores nas mochilas, fornecendo-os gratuitamente aos estudantes ou vendendo a um preço descontado, para incentivar a geração de externalidades positivas. Outra possível regulação seria a cobrança de uma taxa dos alunos que escolherem utilizar os cadeados, desincentivando a opção que gera externalidades negativas.
4) A taxa de desemprego (chamaremos de nesse problema) é dada pela razão entre pessoas desempregadas, independente da causa, pela quantidade de pessoas que estão presentes na força de trabalho. Então temos que a taxa de desemprego pode ser calculada como:
5) Sabendo que seu dinheiro desvaloriza 3% ao ano, significa que a cada período o dinheiro valerá 97% do que valia anteriormente. Assim, no primeiro ano, ele terá
E no segundo ano, seu dinheiro valerá 97% dessa quantidade, ou seja,
Podemos então perceber que a cada ano que passa teremos mais um fator de 0.97 multiplicando, assim após n anos EUclides terá:
Assim, após 40 anos, restará apenas:
Veja que tecnicamente ele ainda possui 10.000 reais, mas daqui a 40 anos ele poderá comprar apenas o que poderia comprar com 2.957,12 reais hoje. Sendo assim, sua perda total foi de:
6) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.
a) No lado econômico, a quebra das patentes retiraria as barreiras de entrada para a produção de vacinas, e tornaria o mercado muito mais competitivo. A receita das empresas que desenvolveram as vacinas sofreria uma redução, já que essas precisariam abaixar o preço para competir com as outras companhias que começariam a produzir suas vacinas. O efeito sobre a saúde seria uma grande aceleração do ritmo de vacinação, já que mais empresas poderiam produzir as vacinas. Além disso, a redução no preço médio dos imunizantes impulsionaria especialmente os países mais pobres, que não conseguem competir com países ricos pelo fornecimento das doses.
b) O que pode tornar essa decisão problemática no longo prazo é o desincentivo à inovação futura que ela pode gerar. No caso de uma nova pandemia, as empresas farmacêuticas pensarão duas vezes antes de gastar bilhões no desenvolvimento de uma vacina, pois sabem que o governo pode simplesmente quebrar seu monopólio e acabar com seus lucros. Dependendo dos custos iniciais necessários para o desenvolvimento dos imunizantes, portanto, pode ser mais vantajoso para essas empresas não desenvolver uma nova vacina. Embora a quebra das patentes aumente a oferta de vacinas agora, corre-se o risco de, numa eventual próxima pandemia, ninguém desenvolver uma vacina, e os prejuízos futuros acabarem sendo muito maiores do que os ganhos presentes.
7) Para resolver esta questão observe que a população do país como um todo não é relevante, visto que a taxa de desemprego em questão é calculada apenas em cima da População Economicamente Ativa (PEA). Para facilitar a notação, chamemos a PEA de e a nova taxa de desemprego no mês seguinte de . Dessa forma temos:
desempregados (antigo) + quem perdeu o emprego - quem conseguiu emprego = desempregados (novo)
8) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.
a) É esperado que o preço das ações caia.
b) Os ativos na bolsa de valores são precificados utilizando previsões, entre elas a taxa de juros. De modo geral, uma taxa de juros baixa é boa para a bolsa de valores, enquanto uma taxa de juros alta já não é tão boa assim. Isso se deve a diversos fatores: com uma taxa de juros mais baixa, os agentes são obrigados a sair dos investimentos de renda fixa se quiserem retornos melhores; uma taxa de juros mais baixa torna mais barato às empresas tomar empréstimos, o que viabiliza bons projetos que agregarão valor à companhia; uma taxa de juros mais baixa torna mais barato às pessoas tomar empréstimos e estimula a economia como um todo, o que também é bom para as empresas. Se o mercado está esperando um aumento na taxa de juros de 1%, mas vem um aumento de 11%, os ativos estão precificados com uma previsão muito mais otimista do que o que se concretizou, e portanto os preços cairão para se adequar à nova taxa de juros (até o estagiário consertar o erro no relatório).
9) Primeiro, veja que podemos reescrever a função de oferta como . Na cidade em que há um mercado perfeitamente competitivo, o ponto de equilíbrio se dá quando a função da oferta é igual à demanda. Assim, podemos descobrir o preço P do hambúrguer na cidade competitiva com a igualdade:
Resolvendo a equação, temos que:
Agora, no caso do monopólio, temos que o preço será dado quando o lucro for maximizado da mesma maneira. Veja que podemos escrever o lucro como receitas menos custos .
A receita é dada por , pois vendendo produtos a reais, teremos a receita. Como a quantidade vendida é dada pela demanda, que pode ser escrita como , temos que a receita é dada por:
Já os custos serão dados pelo preço de produção de cada hambúrguer (R$15,00) vezes a quantidade de hambúrgueres produzidos, mais o custo fixo de produção, que chamaremos de . Apesar de não termos essa informação no momento, veremos que ela será irrelevante para as contas no final. Assim, temos:
Podemos então finalmente escrever o lucro em função do preço :
Veja que a função do lucro é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Portanto, podemos usar a fórmula para achar o vértice da parábola e encontrar o valor de que maximizará o lucro. Sabendo que o vértice de uma parábola se dá em , temos que o lucro máximo é dado quando:
10) Um maior coeficiente de Gini será observado na economia que apresentar uma diferença entre a curva em ângulo de 45º (nomeada como Cenário de Distribuição Perfeita) e a Curva de Lorenz. Dessa forma, claramente o segundo gráfico representa uma economia mais desigual.
Quanto maior a desigualdade em uma economia, maior será o coeficiente de Gini; portanto, o segundo gráfico apresentará um maior coeficiente de Gini.
Sendo A a área entre a curva de 45º e a curva de Lorenz, e B a área abaixo da curva de Lorenz, podemos determinar que o coeficiente será calculado através da razão A/(A+B).
11) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.
a) A fórmula do valor presente de uma perpetuidade é:
onde C é o fluxo de caixa e r a taxa de desconto. Neste caso, temos um fluxo de caixa anual de R$100.000,00 e uma taxa de desconto de 2%. Substituindo na fórmula, temos:
.
Assim, o máximo que um investidor deve pagar pelo título, portanto, é 5 milhões de reais.
b) A nova proposta de dívida é uma perpetuidade com fluxos de caixa crescentes. Também podemos aplicar uma fórmula simples para encontrar o valor presente neste caso:
Aqui, assim como no caso de cima, C é o fluxo de caixa, r a taxa de desconto e g é o crescimento anual do fluxo de caixa. Podemos substituir os valores fornecidos na fórmula:
O novo valor máximo que um investidor deve pagar pelo título, portanto, é R$6.250.000,00.
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