Soluções - Coletânea para Iniciantes #1

Essas são as soluções referentes à uma de nossas coletâneas. Para acessá-la, clique aqui.

1) Assumimos que o filho do presidente é um agente racional e busca maximizar o lucro de sua pizzaria. Sua função lucro será dada por:

$\pi=Q\cdot P-C(Q)$

Utilizando os dados do enunciado, podemos encontrar o preço P em função da quantidade Q:

$Q=120-2P$

$P=60-\frac{Q}{2}$

Substituindo o preço e o custo na função do lucro:

$\pi=Q(60-\frac{Q}{2})-\frac{3Q^2}{4}$

$\pi=60Q-\frac{5Q^2}{4}$

Podemos encontrar a quantidade ótima $Q^*$ utilizando a fórmula do vértice da parábola:

$Q^*=\frac{-b}{2a}$

$Q^*=\frac{-60}{2\cdot \frac{-5}{4}}$

$\boxed{Q^*=24}$

Alternativamente, se você souber derivadas (o que não é necessário para nenhuma fase da OBECON), pode encontrar $Q^*$ derivando a função lucro e igualando a zero:

$\frac{d\pi}{dQ}=60-2.5Q^*$

$60-2.5Q^*=0$

$\boxed{Q^*=24}$

2) Primeiramente vamos analisar os ganhos de EUclides no primeiro investimento. Ele inicia com 100 reais mas a cada ano ele ganhará 20% de 100 reais, ou seja, 20 reais. Assim, seu total será de 100 + 20t, onde t é o tempo em anos. Já no segundo investimento, ele inicia com os mesmos 100 reais mas a cada ano seu valor sobe em 115%. Assim, seu total será de 100*1,15^t. Queremos encontrar t de forma que 100+20t<100*1,15^t. Podemos dividir os dois lados da equação por 20, resultando em 5+t<5*1,15^t. Infelizmente não há como achar uma solução analítica para o valor exato de t, mas como estamos interessados apenas em valores inteiros, podemos dispor de outras maneiras para aproximar a resposta. Se colocarmos alguns valores na calculadora, percebemos logo que não são necessários valores muito grandes de t. Para t=5, o segundo investimento já tem um rendimento maior, pois 5*1,15⁵ é aproximadamente 10.05, enquanto 5+(5)=10. Colocando então t=4, vemos que o primeiro investimento ainda estaria rendendo mais, pois 5+(4)=9 enquanto 5*1,15⁴ é aproximadamente 8,74. Vale lembrar que esses valores não são o retorno dele, pois inicialmente dividimos a inequação por 20. Sendo assim, apenas a partir de 5 anos seria mais rentável investir na segunda opção.

3) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.

a) A opção que gera uma externalidade positiva para os outros estudantes é o rastreador. À medida que a polícia identifica quem está roubando as mochilas, os roubos tendem a diminuir, e a probabilidade de ter sua mochila roubada diminui para todos.

b) A opção que gera uma externalidade negativa é o cadeado. Se a sua mochila é mais difícil de roubar, o ladrão preferirá outra mochila, o que aumenta a probabilidade de que a mochila de outro estudante qualquer seja roubada.

c) Uma possível regulação adotada pela universidade seria subsidiar o uso de rastreadores nas mochilas, fornecendo-os gratuitamente aos estudantes ou vendendo a um preço descontado, para incentivar a geração de externalidades positivas. Outra possível regulação seria a cobrança de uma taxa dos alunos que escolherem utilizar os cadeados, desincentivando a opção que gera externalidades negativas.

4) A taxa de desemprego (chamaremos de $T_D$ nesse problema) é dada pela razão entre pessoas desempregadas, independente da causa, pela quantidade de pessoas que estão presentes na força de trabalho. Então temos que a taxa de desemprego pode ser calculada como:

$T_D = \dfrac{1600 + 2400 + 2000}{1600 + 2400 + 2000 + 44000}$

$T_D = \dfrac{6000}{50000}$

$\boxed{T_D = 12\%}$

5) Sabendo que seu dinheiro desvaloriza 3% ao ano, significa que a cada período o dinheiro valerá 97% do que valia anteriormente. Assim, no primeiro ano, ele terá

$10.000\cdot 0.97$

E no segundo ano, seu dinheiro valerá 97% dessa quantidade, ou seja,

$10.000\cdot 0.97\cdot 0.97=10.000\cdot 0.97^2$

Podemos então perceber que a cada ano que passa teremos mais um fator de 0.97 multiplicando, assim após n anos EUclides terá:

$10.000\cdot 0.97^n$

Assim, após 40 anos, restará apenas:

$10.000\cdot 0.97^{40}=R\$2.957,12$

Veja que tecnicamente ele ainda possui 10.000 reais, mas daqui a 40 anos ele poderá comprar apenas o que poderia comprar com 2.957,12 reais hoje. Sendo assim, sua perda total foi de:

$10.000-2.957,12=R\$7.042,88$

6) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.

a) No lado econômico, a quebra das patentes retiraria as barreiras de entrada para a produção de vacinas, e tornaria o mercado muito mais competitivo. A receita das empresas que desenvolveram as vacinas sofreria uma redução, já que essas precisariam abaixar o preço para competir com as outras companhias que começariam a produzir suas vacinas. O efeito sobre a saúde seria uma grande aceleração do ritmo de vacinação, já que mais empresas poderiam produzir as vacinas. Além disso, a redução no preço médio dos imunizantes impulsionaria especialmente os países mais pobres, que não conseguem competir com países ricos pelo fornecimento das doses.

b) O que pode tornar essa decisão problemática no longo prazo é o desincentivo à inovação futura que ela pode gerar. No caso de uma nova pandemia, as empresas farmacêuticas pensarão duas vezes antes de gastar bilhões no desenvolvimento de uma vacina, pois sabem que o governo pode simplesmente quebrar seu monopólio e acabar com seus lucros. Dependendo dos custos iniciais necessários para o desenvolvimento dos imunizantes, portanto, pode ser mais vantajoso para essas empresas não desenvolver uma nova vacina. Embora a quebra das patentes aumente a oferta de vacinas agora, corre-se o risco de, numa eventual próxima pandemia, ninguém desenvolver uma vacina, e os prejuízos futuros acabarem sendo muito maiores do que os ganhos presentes.

7) Para resolver esta questão observe que a população do país como um todo não é relevante, visto que a taxa de desemprego em questão é calculada apenas em cima da População Economicamente Ativa (PEA). Para facilitar a notação, chamemos a PEA de $P$ e a nova taxa de desemprego no mês seguinte de $x$ . Dessa forma temos:

desempregados (antigo) + quem perdeu o emprego - quem conseguiu emprego = desempregados (novo)

$20\% \cdot P + 3\% \cdot 80\% \cdot P - 16\% \cdot 20\% \cdot P= x \cdot P$ $20\% + 2,4\% - 3,2\% = x$

$\boxed{x =19,2\%}$

8) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.

a) É esperado que o preço das ações caia.

b) Os ativos na bolsa de valores são precificados utilizando previsões, entre elas a taxa de juros. De modo geral, uma taxa de juros baixa é boa para a bolsa de valores, enquanto uma taxa de juros alta já não é tão boa assim. Isso se deve a diversos fatores: com uma taxa de juros mais baixa, os agentes são obrigados a sair dos investimentos de renda fixa se quiserem retornos melhores; uma taxa de juros mais baixa torna mais barato às empresas tomar empréstimos, o que viabiliza bons projetos que agregarão valor à companhia; uma taxa de juros mais baixa torna mais barato às pessoas tomar empréstimos e estimula a economia como um todo, o que também é bom para as empresas. Se o mercado está esperando um aumento na taxa de juros de 1%, mas vem um aumento de 11%, os ativos estão precificados com uma previsão muito mais otimista do que o que se concretizou, e portanto os preços cairão para se adequar à nova taxa de juros (até o estagiário consertar o erro no relatório).

9) Primeiro, veja que podemos reescrever a função de oferta como $Q = 10P + 3000$ . Na cidade em que há um mercado perfeitamente competitivo, o ponto de equilíbrio se dá quando a função da oferta é igual à demanda. Assim, podemos descobrir o preço P do hambúrguer na cidade competitiva com a igualdade:

$10P + 3000 = 4000 - 40P$

Resolvendo a equação, temos que:

$\boxed{P = R$20,00}$

Agora, no caso do monopólio, temos que o preço será dado quando o lucro for maximizado da mesma maneira. Veja que podemos escrever o lucro $(L)$ como receitas $(R)$ menos custos $(C)$ .

A receita é dada por $P \times Q$ , pois vendendo $Q$ produtos a $P$ reais, teremos a receita. Como a quantidade vendida é dada pela demanda, que pode ser escrita como $Q = 4000 - 40P$ , temos que a receita é dada por:

$R = (4000 - 40P) \times P = 4000P - 40P^2$

Já os custos serão dados pelo preço de produção de cada hambúrguer (R$15,00) vezes a quantidade de hambúrgueres produzidos, mais o custo fixo de produção, que chamaremos de $C_F$ . Apesar de não termos essa informação no momento, veremos que ela será irrelevante para as contas no final. Assim, temos:

$C = 15 \times Q + C_F$

$Obs. \Rightarrow Q = 4000 - 40P$

$C = 15 \times (4000 - 40P) + C_F$

$C = 60000 + C_F - 600P$

Podemos então finalmente escrever o lucro em função do preço $P$ :

$L = R - C$

$L = 4000P - 40P^2 - (60000 + C_F - 600P)$

$L = -40P^2 + 4600P - 60000 - C_F$

Veja que a função do lucro é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Portanto, podemos usar a fórmula para achar o vértice da parábola e encontrar o valor de $P$ que maximizará o lucro. Sabendo que o vértice de uma parábola $ax^2 + bx + c$ se dá em $\dfrac{-b}{2a}$ , temos que o lucro máximo é dado quando:

$P^* = \dfrac{-4600}{2\times (-40)}$

$\boxed{P^* = R$57,50}$

10) Um maior coeficiente de Gini será observado na economia que apresentar uma diferença entre a curva em ângulo de 45º (nomeada como Cenário de Distribuição Perfeita) e a Curva de Lorenz. Dessa forma, claramente o segundo gráfico representa uma economia mais desigual.

Quanto maior a desigualdade em uma economia, maior será o coeficiente de Gini; portanto, o segundo gráfico apresentará um maior coeficiente de Gini.

Sendo A a área entre a curva de 45º e a curva de Lorenz, e B a área abaixo da curva de Lorenz, podemos determinar que o coeficiente será calculado através da razão A/(A+B).

11) Vejamos as soluções de cada um dos itens abaixo.

a) A fórmula do valor presente de uma perpetuidade é:

$\displaystyle VP=\frac{C}{r}$

onde C é o fluxo de caixa e r a taxa de desconto. Neste caso, temos um fluxo de caixa anual de R$100.000,00 e uma taxa de desconto de 2%. Substituindo na fórmula, temos:

$\displaystyle VP=\frac{\textrm{R\$}100.000}{2\%}$

$\displaystyle \boxed{VP=\textrm{R\$}5.000.000}$ .

Assim, o máximo que um investidor deve pagar pelo título, portanto, é 5 milhões de reais.

b) A nova proposta de dívida é uma perpetuidade com fluxos de caixa crescentes. Também podemos aplicar uma fórmula simples para encontrar o valor presente neste caso:

$\displaystyle VP=\frac{C}{r-g}$

Aqui, assim como no caso de cima, C é o fluxo de caixa, r a taxa de desconto e g é o crescimento anual do fluxo de caixa. Podemos substituir os valores fornecidos na fórmula:

$\displaystyle VP=\frac{\textrm{R\$}100.000}{2\%-0,4\%}$

$\displaystyle \boxed{VP=\textrm{R\$}6.250.000}$

O novo valor máximo que um investidor deve pagar pelo título, portanto, é R$6.250.000,00.

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