Segunda Fase 2021 - Dissertativas

Escrito por Nicolas Goulart, revisado por Daniel Colli

Questão 1 - "Fechando negócio"

Ana e Beto estão no seguinte jogo: cada um recebe um envelope contendo uma cédula de dinheiro. A cédula pode ser de 1, 2, 5, 10, 20, 50 ou 100 reais, com chances iguais para cada número. Cada um dos jogadores abre o envelope e observa a cédula contida no envelope, mas um jogador não sabe a cédula contida no envelope do outro jogador.

Após observar a quantia no próprio envelope, os dois jogadores anunciam simultaneamente se querem ou não trocar de envelopes. Se ambos anunciam querer a troca, a troca é efetuada, e eles ficam com o dinheiro do envelope trocado. Se pelo menos um dos jogadores não quiser realizar a troca, os dois ficam com o dinheiro de seus envelopes originais.

Cada jogador deseja maximizar o valor esperado de dinheiro recebido para si mesmo, e ambos são sofisticadamente racionais.

a)  Suponha que Ana receba um envelope com uma cédula de 100 reais e Beto um envelope com uma cédula de 1 real. Haverá então troca de envelopes? Justifique brevemente sua resposta.

b) Seja x o valor no envelope de Ana e y o valor no envelope de Beto. Encontre todos os pares (x,y) em que a troca pode ser aceita por ambos os jogadores. Justifique sua resposta.

Questão 2 - "Contrato ótimo"

Quando um cliente entra em uma loja, o vendedor da loja tem que escolher se vai se dedicar ao cliente ou passar seu tempo no celular, deixandoo cliente escolher os produtos por si próprio. Digamos que, quando o vendedor se dedica, a probabilidade do cliente fazer uma compra é de 80%, enquanto se o vendedor fica no celular, essa probabilidade cai para 60%.

A loja vende um único produto ao preço p=US$500,00, e o vendedor só tem uma oportunidade de venda por dia. O dono da loja não consegue observar o esforço de seus funcionários, mas consegue observar se a venda foi ou não feita e gostaria de estimular que o vendedor se esforçasse. Desta forma, o dono deve decidir qual será a compensação diária que oferecerá ao vendedor, na forma de um salário fixo mais um bônus caso a venda seja realizada. Em particular, suponha que o salário fixo é dado por $w_l$ e, caso a venda seja realizada, o salário oferecido é $w_h=w_l+b$, em que $b$ é o bônus. Vamos assumir que a utilidade do vendedor, por dia de trabalho, é dada por:

$U(w,d)=7-\frac{500}{w}-d$

em que $w$ é o valor que o vendedor recebeu no dia, e $d$ é o custo do vendedor de se dedicar: 1 se ele se dedicar e 0 caso contrário. Assuma também que, se o vendedor escolhesse o desemprego, sua utilidade seria igual a zero.

a) Escreva uma função que representa o lucro diário esperado do dono da loja caso o vendedor se esforce.

b) Escreva a desigualdade que deve ser respeitada para que o vendedor prefira exercer esforço alto a estar desempregado.

c) Escreva a desigualdade que deve ser respeitada para que o vendedor prefira exercer esforço alto a exercer esforço baixo - ambos no emprego de vendedor.

d) Determine qual o contrato salarial, ou seja, qual o valor fixo e o bônus no caso da venda, que seja o menor valor que o dono da loja pode oferecer ao vendedor e que vá incentivar este a se esforçar.

Questão 3 - "Externalidade"

Geralmente, o custo de uma firma depende dos insumos empregados em sua própria produção, de forma que podemos simplificar a função de custo como dependendo da quantidade de bens produzidos, ou seja, $C=f(q)$. Em alguns casos particulares, porém, temos uma situação em que o custo de uma firma depende não apenas de sua própria produção, mas também da produção de uma outra empresa. Assuma, por exemplo, que duas firmas (A e B) de setores distintos vendem seus produtos finais em mercados competitivos de preço unitário ($p_A=1$ e $p_B=1$), e que as funções de custos das empresas são:

$c_A(q_A)=1,5q_A^2$

$c_B=(q_A,q_B)=2q_B^2+q_A^2$

em que $q_A$ e $q_B$ são as quantidades produzidas respectivamente pelas firmas A e B. Ambas as firmas são estritamente autointeressadas.

a) Dê um exemplo realista de cenário que exemplifica a relaçãode custos entre as firmas A e B.

b) Determine os níveis de produção que serão escolhidos pela firma A e pela firma B.

c) Qual o problema associado a essa escolha da firma A? Explique brevemente.

d) Proponha duas intervenções governamentais diferentes que possam minimizar o problema identificado no item anterior.

Questão 4 - "Análise de investimentos"

É cotidiano que investidores tenham que escolher entre dois projetos, por conta de restrições de orçamento, de recursos ou de tempo. Quando o fluxo de caixa é conhecido ou pode ser previsto com alguma precisão, é útil considerar a Taxa Interna de Retorno (TIR), que é definida como a taxa de desconto que leva a zero o valor presente líquido (VPL) de um projeto. Ou seja, a Taxa Interna de Retorno é definida pelos valores de taxa de desconto que satisfazem VPL=0. Matematicamente, é possível expressar que:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N}\frac{FC_n}{(1+TIR)^n}=0$

➔ $FC_n$ é o fluxo de caixa no n-ésimo intervalo. ($FC_n=R_n-C_n$);

➔ $R_n$, a receita no n-ésimo intervalo;

➔ $C_n$, os custos no n-ésimo intervalo.

Alternativamente, para resolver alguns problemas que surgem com o uso da TIR podemos utilizar outro indicador, aTaxa Interna de Retorno Modificada (TIRM). Para calculá-la, tomamos a raiz N-ésima da razão entre o valor futuro das receitas, calculados pela taxa recebida por reinvestir as receitas, e o valor presente dos gastos do projeto, descontado pela taxa definanciamento do projeto da empresa, e em seguida subtraímos 1.

$\displaystyle TIRM = \left( \frac{\textrm{Valor futuro de R}}{\textrm{Valor presente de C}} \right) ^{\frac{1}{N}}-1=\left( \frac{\displaystyle \sum_{n=0}^{N}R_n(1+i_m)^{N-m}}{\displaystyle \sum_{n=0}{N}\frac{C_n}{(1+i_f)^n}} \right) ^{\frac{1}{N}}-1$

➔ $i_m$ é a taxa recebida por reinvestir as receitas;

➔ $i_f$, a taxa de financiamento do projeto;

➔ A TIRM não está definida quando o valor presente dos custos é nulo.

A TIRM é mais coerente pois ela descarta duas hipóteses implícitas do cálculo da TIR que: o caixa positivo é reinvestido na taxa TIR e que eventuais financiamentos são feitos também na taxa TIR.

a) Desconsiderando o risco, o que significa para um analista quando o Valor Presente Líquido de um projeto é estritamente positivo?

b) Calcule a(s) TIR(s) deste fluxo de caixa (valores em milhares de reais).

$t=0, FC_0=2$

$t=1, FC_1=-4,6$

$t=2, FC_2=2,64$

c) Cite uma desvantagem da TIR em relação a TIRM que não foi mencionada no enunciado.

d) Estando a TIRM definida, prove que, se $TIR=i_m=i_f$, então $TIR=TIRM$.

Questão 5 - "O fantasma de Malthus"

O economista e pastor anglicano Thomas Malthus é conhecido hoje por sua visão pessimista sobre o crescimento econômico. Malthus acreditava que melhorias na qualidade de vida não são possíveis no longo prazo, pois “[o] poder da população é indefinivelmente maior do que o poder na terra deprover sustância para o homem.”

Apesar das previsões catastróficas de Malthus não se concretizarem após a Revolução Industrial, as ideias malthusianas são muito úteis para explicar as economias agrárias do passado. Nesta questão, você verá como essas ideias podem explicar fenômenos misteriosos observados na história.

Parte 1 - A flecha de Apolo

a) Em uma economia agrária, a quantidade $Y$ de bens e serviços produzidos em um ano é dada por:

$Y=AL^{\alpha}T^{1-\alpha}$

onde $A$ é o nível de tecnologia, $L$ é o tamanho da força de trabalho, $T$ é a quantidade de terra disponível para cultivo, e $\alpha \in (0,1)$ é um parâmetro que representa a importância do trabalho em relação à terra na produção de bens e serviços. De acordo com essa função de produção, encontre uma relação matemática entre o tamanho da população e a renda média.

b) No século XIV, a Peste Negra se espalhou por grande parte da Eurásia. Estima-se que essa doença terrível tomou as vidas de até 60% da população da Europa naquela época. Todavia, os sobreviventes dessa devastação tiveram um aumento súbito no seu padrão de vida: a renda de camponeses ingleses subiu 70% entre 1300 e 1400, e chegaram a um nível em 1450 que não foi superado até o século XIX. Explique esse fenômeno com base nos resultados do item (a).

Parte 2 - Prometeu acorrentado por Afrodite

Responda aos itens (c) e (d) em um só gráfico. Construa seus eixos conforme o modelo abaixo.

c) A taxa de mortalidade D de um país é definida como o número de mortes por mil habitantes por ano nesse país. Com base nessa definição e nos seus conhecimentos, esboce a curva da taxa de mortalidade D em função da renda média $y\equiv \frac{Y}{L}$ de um país.

d) A taxa de natalidade B de um país é definida como o número de nascimentos por mil habitantes por ano nesse país. Com base nessa definição e nas ideias de Malthus, esboce a curva da taxa de natalidade B em função da renda média $y\equiv \frac{Y}{L}$ de um país.

Parte 3 - A maldição de Asclépio

No século XVIII, um trabalhador londrino ganhava três vezes mais do que um trabalhador em Kyōtō. Porém, a agricultura japonesa era muito mais produtiva do que a inglesa; isto é, com a mesma quantidade de terra e trabalhadores, obtinha mais calorias do solo.

e) Expresse a diferença entre a economia japonesa e a economia inglesa com base no item (a).

f) Sabendo que as cidades japonesas eram mais limpas do que as cidades inglesas neste período, compare a curva $D(y)$ em Londres e em Kyōtō, esboçando um gráfico de ambas essas curvas. Utilize, novamente, o modelo dado acima como referência, mas separado do gráfico dos itens (c) e (d).

g) Explique matematicamente e qualitativamente a diferença de renda entre Londres e Kyōtō, com base nos itens anteriores. Por que a cidade mais produtiva tinha trabalhadores mais pobres?

Questão 6 - "Um “micróbio” muito ouriçado"

A pandemia do coronavírus, que teve início em março de 2020, causou severas recessões em países de todo o mundo. A título de exemplo, o PIB nominal do Brasil teve uma queda de 11,14% no primeiro semestre de 2020 (em relação ao semestre anterior), o da China, uma taxa de 14,45%, e o dos EUA, de 11,33% (Fonte: International Financial Statistics, 2021).

Ao contrário das crises de 1929 e de 2008, essa recessão não começou por conta de algo interno ao sistema econômico, como uma bolha no mercado financeiro, mas sim por fatores externos à própria economia. Desde o início da crise da COVID-19, macroeconomistas discutem o funcionamento dos mecanismos pelos quais a pandemia altera o nível de atividade econômica. Uma das principais discussões é se a recessão causada pelo coronavírus foi predominantemente causada por um choque na oferta agregada, na demanda agregada ou em ambas. Tendo isso em vista e com base em seus conhecimentos, responda os seguintes itens:

a) Liste brevemente duas razões que, em uma situação geral, causam um deslocamento para a esquerda na curva de oferta agregada no curto prazo.

b) Liste brevemente duas razões que, em uma situação geral, causam um deslocamento para a esquerda na curva de demanda agregada no curto prazo.

c) Ao seu ver, a crise do coronavírus foi causada predominantemente por um choque na oferta agregada, na demanda agregada ou em ambos? Fundamente sua resposta e explique por que, em seu ponto de vista, cada fator é ou não relevante.