Escrita por Thomas Bergamaschi
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Questão 01:
Após certo tempo de uso as tesouras devem ser afiadas para manter sua performance. Considere um esmeril (roda de pedra para amolar) de raio $$r$$ de $$15$$ $$cm$$ que gira com uma frequência de $$10$$ $$Hz$$. A tesoura é mantida contra o esmeril com uma força $$F$$de intensidade $$160$$ $$N$$ como esboçado na figura abaixo, onde o ângulo $$\theta$$ é igual a $$60^o$$. Qual a potência desenvolvida pelo esmeril? Considere que o coeficiente de atrito entre o esmeril e a tesoura é $$0,30$$.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’] Potência e atrito[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver este problema vamos primeiro encontrar a força de atrito que faz com que a velocidade angular da roda diminuir. Para calcular tal força de atrito, $$K$$, usaremos que essa força em função da força normal $$N$$ aplicada nele é:
$$K=N\mu$$
Neste caso $$N$$ é a componente radial da força $$F$$, dada por $$N=F*cos(60^o)=\frac{F}{2}$$. Assim a força de atrito é $$K=N\mu=0,15*F=24$$ $$N$$.
De modo que a Potência pedida no enunciado é simplesmente $$P$$, onde $$P=K*v$$, onde $$v$$ é a velocidade da roda no ponto de contato do esmeril, dado por $$v=\omega r$$. Onde $$\omega$$ é a velocidade angular, dada por $$\omega=2\pi f$$, onde $$f$$ é a frequencia da roda.
Assim, $$\omega=60$$ $$rad/s$$, de modo que $$v=9$$ $$m/s$$. Note que foi usado que $$\pi=3$$.
Dessa forma, com $$P=K*v$$, temos que
$$P=K*v=216$$ $$W$$ $$\approx 2,0*10^{2}$$ $$W$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A potencia é $$216$$ $$W$$ $$\approx 2,0*10^{2}$$ $$W$$
[/spoiler]
Questão 02:
Uma locomotiva e um automóvel movem-se perpendicularmente, aproximando-se de um cruzamento. No instante inicial, apresentado na figura abaixo, a locomotiva esta a $$120$$ $$m$$ ao sul da passagem, viajando na direção norte-sul, sentido norte, com velocidade constante de $$72$$ $$km/h$$. e o automóvel está $$60$$ $$m$$ a oeste da passagem, viajando na direção leste-oeste, sentido leste com velocidade de $$36$$ $$km/h$$ e aceleração de $$4,0$$ $$m/s^{2}$$ . No instante $$t =2$$ $$ s$$, determine a:
a) distância entre a locomotiva e o automóvel
b) velocidade da locomotiva em relação ao automóvel
Despreze as dimensões do automóvel e da locomotiva.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para resolver este problema, precisamos encontrar a posição do automóvel e da locomotiva em função do tempo $$t$$. Como a locomotiva está em movimento uniforme, com posição inicial $$y_{0} = -120 $$ $$m$$ e velocidade $$v_{0} = 72$$ $$km/h$$$$ = 20$$ $$m/s$$, a posição da locomotiva em função do tempo é:
$$y(t)=-(120-20t)$$
Já o automóvel está em movimento uniformemente acelerado, com posição inicial $$x_{0} = -60m$$, velocidade inicial $$u_{0} = 36$$ $$km/h$$$$= 10$$ $$m/s$$ e aceleração de $$4,0$$ $$m/s^{2}$$, a posição do automóvel em função do tempo é:
$$x(t)=-(60-10t-2t^{2})$$
Dessa forma, após $$t=2s$$, temos que a posição da locomotiva é $$y(2)=-80$$ $$ m$$ e a do automóvel é $$x(2)=-32$$ $$m$$, assim, podemos encontrar a distância pedida com o teorema de pitágoras:
$$d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{32^{2}+80^{2}}m=\sqrt{7424}m=16\sqrt{29}$$ $$m$$
b) Para calcular a velocidade da locomotiva em relação ao automóvel em $$t=2$$ $$s$$, usamos que como a locomotiva está em um movimento uniforme, sua velocidade é sempre $$v_{0} = 72$$ $$km/h$$$$ = 20$$ $$m/s$$. Já o automóvel está em movimento uniformemente acelerado, e assim sua velocidade em função do tempo é:
$$u(t)=10+4t$$
E em $$t=2$$ $$s$$, $$u(2)=18m/s$$. Assim, a velocidade da locomotiva em relação ao automóvel pode ser encontrada pelo teorema de pitágoras:
$$V=\sqrt{u^{2}+v^{2}}=\sqrt{20^{2}+18^{2}}m/s=2\sqrt{181}$$ $$m/s$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A distância pedida é $$16\sqrt{29}$$ $$m$$
b) A velocidade pedida é $$2\sqrt{181}$$ $$m/s$$
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Questão 03:
Imagine uma bola de massa $$450$$ $$ g$$ presa a uma mola de constante elástica $$k$$. Considere que o movimento da bola é unidimensional e que foi solta do repouso quando a mola estava elongada de $$3,0$$ $$cm$$. O gráfico da energia potencial elástica em função da elongação $$x$$ está apresentado na figura abaixo.
a) Construa o gráfico da força elástica que atua sobre a bola em função da elongação da mola no intervalo de $$-2$$ a $$2$$ $$cm$$.
b) Determine a velocidade máxima da bola
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Energia potencial elástica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para resolver este problema, primeiro precisamos encontrar a constante elástica da mola, para depois construir o gráfico da força elástica.
Para isso, usamos que para uma mola sua energia potencial pode ser descrita como uma função quadrática da forma $$ U(x) = \frac{kx^{2}}{2}$$ onde $$U(x)$$ representa a energia potencial em função do deslocamento da massa $$x$$. Observando o gráfico fornecido, vemos que em $$x=2$$ $$cm$$ $$U(2)=4$$ $$mJ$$. Assim, usando que $$U(x) = \frac{kx^{2}}{2}$$ temos que $$ k=\frac{2U(x}{x^{2}}$$, substituindo o valor para $$x=2,0$$ $$cm $$ obtemos que $$k=20,0$$ $$ N/m$$.
Agora, para o gráfico da força elástica, usamos que a força elástica $$F$$, pode ser escrita como $$F=-kx$$. Assim, o gráfico pedido é linear, com coeficiente linear $$0,0$$ $$N$$ e angular $$ -k=-20,0$$ $$N/m $$.
b) Como a bola foi solta em $$x=3,0$$ $$cm$$, a energia potencial nesse ponto calculada com $$U(x) = \frac{kx^{2}}{2}$$ é $$U(3,0)=9,0$$ $$mJ$$. E como a bola foi solta a partir do repouso a energia total é $$ 9$$ $$mJ$$.
Como a energia se conserva, sabemos que a soma da energia cinética com a potencial se conserva em $$ E_{0}=9 $$ $$mJ$$. Matematicamente isto é:
$$E_{0}=\frac{kx^{2}}{2} +\frac{mv^{2}}{2} $$
Podemos ver claramente que velocidade máxima é atingida quando $$x=0,0 $$ $$cm$$, de modo que $$E_{0}=\frac{mv^{2}}{2}$$. Assim
$$ v= \sqrt{\frac{2 E_{0}}{m}}=0,2 $$ $$ m/s$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Reta com coeficiente linear nulo e angular $$-20,0$$ $$N/m$$.
b) A velocidade máxima é $$0,2$$ $$m/s$$
[/spoiler]
Questão 04:
Um fio elástico fino de massa desprezível é fixado perpendicularmente a duas paredes verticais paralelas que estão separadas por uma distância de $$120$$ $$cm$$. Em dado instante, pendura-se através de um gancho um corpo de massa de $$2,00$$ $$kg$$ no ponto médio do fio. Quando o sistema atinge o equilíbrio, observa-se que o fio aumentou de $$80,0$$ $$cm$$. Qual o valor da constante elástica do fio?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’] Força elástica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Sabemos que como a massa sera pendurado no ponto médio do fio, teremos que será formado um triangulo como abaixo:
Seja $$d_{AB}$$ a distancia entre os pontos $$A$$ e $$B$$ e $$d_{BC}$$ a distancia entre os pontos $$B$$ e $$C$$. Por simetria, $$d_{BC}=d_{AB}$$, e como a corda depois de ser esticada mede $$200$$ $$cm$$, sabemos que $$d_{BC}=d_{AB}=100$$ $$cm$$.
Assim, podemos ver que pelo teorema de pitagoras no triangulo $$ADB$$, o lado $$DB$$ mede $$80$$ $$cm$$. De modo que o seno do angulo $$A$$ é $$sinA=80/100=0,8$$.
Agora, podemos fazer o equilibrio de forças, usando que a foi utilizado uma massa $$m=2,00$$ $$kg$$, de modo que seu peso,$$P$$, é $$P=mg=20,0N$$. Agora, suponha que a constante elástica do fio é $$K$$. Assim, equilibrando as forças, temos que:
$$P=2*K\delta_{L}*sinA$$
Onde $$\delta_{L}$$ é o aumento do tamanho do fio, $$\delta_{L}=0,8$$ $$m$$, o fator $$2$$ vem devido que duas partes do fio saem do ponto$$B$$, e o termo $$sinA$$ aparece pois estamos pegando a componente vertical da força elástica.
Dessa forma obtemos que $$1,28K=P=20$$, assim
$$K=15,625 N/m\approx 16N/m$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A constante é $$K=15,625 N/m\approx 16$$ $$N/m$$
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Questão 05:
Duas partículas A e B partem da origem O e viajam em direções opostas ao longo do caminho circular de raio $$5 $$ $$m$$ com velocidades de módulos constantes $$v_{A} = 0,7 $$ $$ m/s$$ e $$v_{B} = 1,5 $$ $$m/s$$.
a) Determine a distância percorrida pelas partículas no instante $$t=2,0s$$.
b) Calcule o instante do encontro das partículas.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para resolver este problema, usaremos que ambas as partículas percorrem um movimento circular com velocidade constante, ou seja, um movimento circular uniforme.
Para a partícula A, temos que a distância percorrida por ela em função do tempo é:
$$d_{A}=0,7t$$
Enquanto para a partícula B, a distância percorrida por ela em função do tempo é:
$$d_{B}=1,5t$$
Assim, em $$t=2$$ $$s$$ $$d_{A}=1,4$$ $$m$$ e $$d_{B}=3,0$$ $$m$$.
b) Para que haja encontro das duas partículas, precisamos que a soma das distâncias percorridas por elas seja igual ao comprimento da circunferência. Matematicamente, isso significa que:
$$2\pi R=d_{A}+d_{B}$$
Onde $$R=5$$ $$m$$, o raio da circunferência. Usando que $$d_{A}=0,7t$$ e $$d_{B}=1,5t$$, temos que $$d_{A}+d_{B}=2,2t$$. Assim, o tempo para encontro $$t$$ é:
$$t=\frac {2*5 \pi} {2,2}s= \frac {5 \pi} {1,1}s=\frac {15} {1,1} s\approx 13,64 s \approx 14 s $$
Onde foi feita a aproximação $$\pi = 3$$ dada no topo da prova.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para a partícula A $$d_{A}=1,4$$ $$m$$ e para B $$d_{B}=3,0$$ $$m$$
b) O tempo para encontro $$t\approx 13,64$$ $$s\approx 14$$ $$s $$
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Questão 06:
Um satélite de massa $$m$$ usado para comunicação, encontra-se estacionário a uma altura h de um ponto da superfície do planeta Terra, de massa $$M_{T}$$ e raio é $$R_{T}$$ . Suponha que o mesmo satélite orbite um planeta hipotético $$X$$, com massa $$M_{X}$$ e raio $$R_{x}$$. O satélite está a uma altura de $$3h$$ de um ponto da superfície do planeta $$X$$ com período de $$2T_{Terra}$$. Encontre a relação entre as velocidades lineares do satélite.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Gravitação[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver este problema primeiro precisamos achar a velocidade linear do satélite em função das constantes fornecidas. Note que o raio da orbita do satélite na Terra é $$R_{T}+h$$ e em $$X$$ é $$R_{X}+3h$$.
Para o caso que o satélite está orbitando a Terra, temos que a força gravitacional $$F_{Grav}$$ tem de ser numericamente igual à resultante centrípeta do satélite, assim, se a velocidade do satélite ao redor da Terra for $$v_{T}$$, temos:
$$F_{Grav}=\frac {GM_{T} m}{(R_{T}+h)^{2}} =\frac{mv_{T}^{2}}{R_{T}+h}$$
Dessa forma, $$v_{T}^{2}=\frac {GM_{T}}{R_{T}+h}$$. Para o planeta $$X$$ fazemos o mesmo procedimento e encontramos para a velocidade em $$X$$, $$v_{X}^{2}=\frac {GM_{X}}{R_{X}+3h}$$. E assim, denominando a razão das velocidades como $$r=\frac {v_{T}}{v_{X}}$$, temos que:
$$ r^{2}=\frac{M_{T}(R_{X}+3h)}{M_{X}(R_{T}+h)}$$
Além disso, sabemos que o periodo em $$X$$ é o dobro que na Terra, usamos que a razão entre o comprimento da circunferência e a velocidade do satélite representa o periodo orbital, como em $$ T_{Terra}=\frac {2 \pi (R_{T}+h)}{v_{T}}$$. E assim, comparando o periodo da Terra e de $$X$$, e cortando os termos constantes obtemos:
$$ 2\frac{R_{T}+h}{v_{T}} =\frac{R_{X}+3h}{v_{X}}$$
Assim, obtemos que a razão $$r=\frac {v_{T}}{v_{X}}=2 \frac{R_{T}+h}{R_{X}+3h}$$. Agora, perceba que podemos escrever $$\frac{R_{T}+h}{R_{X}+3h}$$ como $$\frac{r}{2}$$, de modo que usando a expressão que relaciona $$ r^{2}$$ com as massas e raios, obtemos:
$$r^{2}=2\frac{M_{T}}{M_{X} r}$$
Assim
$$r^{3}=2\frac{M_{T}}{M_{X} }$$
e a razão pedida é $$(2\frac{M_{T}}{M_{X}})^{1/3}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A razão pedida é $$(2\frac{M_{T}}{M_{X}})^{1/3}$$
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Questão 07:
Um estudante de Física, observou que seu peso era $$P$$ ao utilizar uma balança em uma farmácia (no referencial do solo). Curioso, ele procurou verificar o que ocorreria repetindo o procedimento em um elevador em movimento. Especificamente, ele observou o valor registrado quando o elevador subia aumentando sua velocidade com uma aceleração cinco vezes menor que a aceleração gravitacional. Qual a variação da leitura da balança na farmácia em relação ao elevador subindo acelerado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Dinâmica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como no referencial do solo a balança marcava $$P$$, podemos afirmar que $$P=mg$$. Onde $$m$$ é a massa do estudante e $$g$$ a aceleração gravitacional.
Agora, suponha que a força normal entre o piso do elevador e o estudante seja $$N$$. Como o estudante está acelerando para cima com aceleração $$\frac{g}{5}$$, sabemos que a resultante das forças sob o estudante aponta para cima, matematicamente isso significa:
$$N-mg=\frac {mg}{5}$$
Assim $$N=\frac{6mg}{5}$$. E como a balança vai marcar a força normal temos que ela irá medir $$\frac{6mg}{5} = \frac{6P}{5}$$. E a variação da leitura pedida é $$\frac{6P}{5} – P=\frac{P}{5}$$.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A variação da leitura pedida é $$\frac{P}{5}$$
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Questão 08:
Um aluno, mistura $$800 $$ $$g$$ de água a $$20^{\circ}C $$com uma certa massa de gelo a $$-20^{\circ}$$ $$C$$ dentro de um recipiente com paredes adiabáticas. Diante do experimento verifica que o sistema alcançou o equilíbrio térmico a temperatura de $$10^{\circ}C$$. Qual a massa inicial de gelo?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Calorimetria[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Por conservação de energia, sabemos a soma de todos os calores trocados será $$0$$. Dessa forma, como uma massa de água,$$m$$, onde $$m=800$$ $$g$$ varia $$\delta_{T}=10^{\circ}C$$ de temperatura, o calor correspondente a essa troca é, $$Q$$, onde $$Q=m c \delta_{T}=8000cal$$, onde foi usado que o calor específico da água é $$c=1cal/(g^{\circ}C)$$.
Supondo que a massa de gelo seja $$ \mu $$, sabemos que para essa massa ir de $$-20^{\circ}C$$ a $$10^{\circ}C$$ será preciso uma quantia de calor $$U$$, onde $$U=U_{1}+U_{2}+U_{3}$$. Onde $$U_{1}$$ representa o calor utilizado para o gelo aquecer até $$0^{\circ}C$$, que é $$U_{1}=0,5*20*\mu=10\mu$$, onde foi usado que o calor específico do gelo é $$0,5cal/(g^oC)$$. E $$U_{2}$$ representa o calor para fundir o gelo, que é $$U_{2}=80 \mu$$, já que o calor latente do gelo é $$ 80 cal/g$$. E finalmente $$U_{3}$$, para aquecer a água de $$0^{\circ}C$$ até $$10^{\circ}C$$, que será $$U_{3}=1*10*\mu=10\mu$$,onde foi usado que o calor específico da água é $$c=1cal/(g^oC)$$.
Assim, $$U=U_{1}+U_{2}+U_{3}=100\mu$$. E como $$U=Q$$, temos que $$8000=100\mu$$, logo $$\mu=80$$ $$g$$.
Logo, a massa inicial de gelo é $$80$$ $$g$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A massa inicial de gelo é $$80$$ $$g$$.
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