Escrito por Lucas Tavares, Pedro Tsuchie, Lucas Praça, Vitor Takashi, João Victor Evers e Athur Gurjão
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Questão 1 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Uma pessoa planeja construir uma parede de tijolos maciços para fechar completamente um vão de $$4,40 \;\rm{m}$$ de largura por $$3,50 \;\rm{m}$$ de altura. Os tijolos têm dimensões de $$20,0 \;\rm{cm} \times 10,0 \;\rm{cm} \times 5,00 \;\rm{cm}$$. A parede deve ter espessura de $$10,0 \;\rm{cm}$$ de forma que os tijolos devem ser assentados com o lado maior na direção do comprimento da parede e o menor na direção da altura. Os tijolos devem ser assentados usando uma argamassa de densidade $$1900 \;\rm{kg/m^3}$$ que os deixam separados por uma distância d. Considere que a argamassa preenche completamente o espaço entre os tijolos.
(a) Caso d seja desprezível, quantos tijolos, aproximadamente, são utilizados na parede?
(b) Caso $$d = 2,00 \;\rm{cm}$$, quantos tijolos são utilizados, aproximadamente, na parede?
(c) Caso $$d = 2,00 \;\rm{cm}$$, qual a massa da argamassa aproximadamente, em $$\rm{kg}$$, é utilizada na
parede?
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Conceitos matemáticos
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para resolver esse problema, basta calcular a área total da parede e dividir pela área de um tijolo, afinal
$$A_{tot} = N A_{tijolo}$$
Em que N é a área de um único tijolo.
Para calcular a área total, basta utilizar os dados fornecidos pelo enunciado.
$$A_{tot} = 3,5\times 4,4\; \rm{m^2} = 15,4\; \rm{m^2}$$
De acordo com o enunciado, o lado maior do tijolo deve estar na direção do conprimento, enquanto o lado menor deve estar na direção da altura. Isso indica que a área ocupada por um único tijolo deve ser
$$A_{tijolo} = 20\times 5 \; \rm{cm^2}=0,01\;\rm{m^2}$$
Logo, temos:
$$\boxed{N = 1540}$$
b) Para fazer essa estimativa, vamos considerar que essa argamasa fará com que as dimensões de cada tijolo aumente. Para isso, como a argamassa tem espessura $$d=2,00\;\rm{cm}$$, vamos considerar que cada tijolo ganhe $$1,00\;\rm{cm}$$ de espessura para cada face. Sendo assim, a área do “novo tijolo” será
$$A_{novo\;tijolo} = 22\times 7\;\rm{cm^2} = 0,0154\;\rm{m^2}$$
Portanto, o número de tijolos será
$$\boxed{N’ = 1000}$$
c) A massa de argamassa será dada por:
$$m = dV_{argamassa} = dA_{argamassa}e$$
Em que $$e = 0,1 \;\rm{m}$$ é a espessura da argamassa, que deve ser igual a espessura da parede.
Para calcular a área da argamassa, basta calcular a diferença entre a área ocupada pelos tijolos no item a) e item b). Logo:
$$A_{argamassa} = A_{tijolo}(N-N’) = 0,01\times 540\;\rm{m^2}$$
$$A_{argamassa} = 5,40\;\rm{m^2}$$
Portanto:
$$m = 1900\times 5,40\times 0,10 \:\rm{kg}$$
$$\boxed{m= 1026\;\rm{kg}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{N = 1540}$$
b)
$$\boxed{N’ = 1000}$$
c)
$$\boxed{m= 1026\;\rm{kg}}$$
[/spoiler]
Questão 2 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Ana e Beatriz são estudantes de física e estão no alto de uma ponte de $$30$$ metros de altura. Ana abandona uma pedra e $$0,50 \;\rm{s}$$ depois Beatriz lança outra verticalmente para baixo. As pedras atingem a água do rio abaixo simultaneamente. Desconsidere a resistência do ar.
(a) Em que instante, em s, em relação ao momento em que foi solta, a primeira pedra atinge
a água?
(b) Qual a velocidade de lançamento, em $$\rm{m/s}$$, da segunda pedra?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Cinemática – MRUV
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Como o movimento de queda livre é um MRUV, temos:
$$H = \dfrac{1}{2} g t^2$$
Colocando $$t$$ em evidência
$$t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}$$
Logo:
$$t = \sqrt{6} \;\rm{s} = \sqrt{2}\sqrt{3} \;\rm{s}$$
Usando as aproximações da prova para $$\sqrt{3} = 1,7$$ e $$\sqrt{2}= 1,4$$:
$$\boxed{ t = 2,38\;\rm{s}}$$
b) Como ambas as pedras atingem o solo ao mesmo tempo:
$$h = v(t-0,5) + \dfrac{1}{2}g(t-0,5)^2$$
Substituindo $$t$$ pelo valor encontrado no item anterior e colocando $$v$$ em evidência:
$$\boxed{v \approx 6,56\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{ t = 2,38\;\rm{s}}$$
b)
$$\boxed{v \approx 6,56\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler]
Questão 3 (exclusiva para alunos da 1ª série)
A velocidade $$V$$ de propagação de uma onda em uma corda vibrante é dada por:
$$V=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$
onde $$T$$ é a tensão na corda e $$\mu$$ é a densidade linear de massa da corda, ou seja, a massa por unidade de comprimento da corda. Considere uma corda de violão de aço de comprimento de $$650 \;\rm{mm}$$ e diâmetro de $$0,40 \;\rm{mm}$$ na qual $$V = 400\;\rm{ m/s}$$. Sabendo que a densidade do aço é $$8000 \;\rm{kg/m^3}$$ , determine:
(a) $$\mu$$, em $$\rm{kg/m}$$.
(b) $$T$$, em $$\rm{N}$$.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Conceitos matemáticos
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
Como indicado no texto, $$\mu$$ é a densidade linear de massa, portanto, basta calcularmos a masso da corda, já que temos seu comprimento. Como temos a densidade, precisamos calcular o volume. A corda será modelada como um cilindro, logo seu volume será:
$$\pi r^2 h=\pi (0,2\cdot 10^-3)^2 \cdot 0,65=7,8\cdot 10^{-8} \;\rm{m^3}$$
A massa será o volume vezes a densidade:
$$M= 7,8\cdot 10^{-8} \cdot 8000=6,24\cdot 10^{-4} \;\rm{kg}$$
$$\mu=\frac{M}{L}=\frac{6,24\cdot 10^{-4}}{0,65}$$
$$\boxed{\mu = 9,6\cdot 10^{-4}\;\rm{ kg/m}}$$
b)
Manipulando um pouco a expressão dada:
$$V=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$
$$T=V^2 \cdot \mu$$
Por fim,
$$\boxed{T = 153,6\;\rm{N}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{\mu = 9,6\cdot 10^{-4}\;\rm{ kg/m}}$$
b)
$$\boxed{T = 153,6\;\rm{N}}$$
[/spoiler]
Questão 4 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Alberto e Bruno moram em cidades que estão ligadas por uma estrada de $$300 \;\rm{km}$$ de extensão. Certo dia, Alberto decide fazer uma visita surpresa a Bruno e inicia sua viagem às $$8\;\rm{h}\;00\;\rm{min}$$ da manhã. Coincidentemente, Bruno tem a mesma ideia, e parte em direção à cidade de Alberto às $$8\;\rm{h}\;27\;\rm{min}$$ da manhã. Sabendo que Alberto e Bruno dirigem durante este percurso seus automóveis com velocidades escalares médias de $$60 \;\rm{km/h}$$ e $$80 \;\rm{km/h}$$, respectivamente, determine:
(a) O intervalo de tempo, em minutos, contados do início de sua viagem, em que o carro de Alberto cruza o carro de Bruno.
(b) A distância, em km, percorrida pelo carro de Bruno até o ponto onde se cruzaram.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Cinemática
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
Para resolver essa questão, é conveniente separar o tempo em duas partes: antes de Bruno iniciar sua viagem e depois dele iniciá-la.
Na primeira parte, Alberto move-se:
$$\Delta S_1=\frac{27}{60}\cdot60=27\;\rm{km}$$
A partir daí, temos um problema clássico de encontro que podemos resolver de diversas maneiras. Faremos mudando para o referencial de Alberto. Neste referencial, a distância entre eles é, inicialmente de $$300-27=273km$$ e Bruno se aproxima à $$ V_{relativa}=80+60=140km/h$$.
Até o encontro:
$$\Delta t=\frac{273}{140}=1,95 \;\rm{h}=117 \;\rm{min}$$
Dessa forma, o tempo até o encontro é de :
$$\Delta t = 117+27$$
$$\boxed{\Delta t =144\;\rm{min}}$$
b)
Já que sabemos o tempo para se encontrarem depois que Bruno inicia sua viagem, é fácil saber a distância:
$$\Delta S_{Bruno}=\frac{117}{60}\cdot80$$
$$\boxed{\Delta S_{Bruno} =156\;\rm{km}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{\Delta t =144\;\rm{min}}$$
b)
$$\boxed{\Delta S_{Bruno} =156\;\rm{km}}$$
[/spoiler]
Questão 5
Em um laboratório de física há uma mesa horizontal com pequenos furos pelos quais saem jatos de ar (parecida com a usada no jogo hoquei de mesa). Desta forma um disco plástico pode deslizar sobre ela com força de atrito desprezível. A mesa tem uma beirada elevada em relação ao plano de movimento para impedir que o disco caia. Um estudante lança um disco com velocidade perpendicular a um lado da mesa, de forma que o disco realiza um movimento de bate e volta unidimensional, pois a velocidade inverte seu sentido quando colide com uma beirada da mesa. Ele realiza medidas de posição do centro do disco em função do tempo que são apresentadas no gráfico. As beiradas da mesa são de borracha e, em geral, restituem quase toda a energia ao disco em uma colisão. No entanto, o estudante recobriu uma beirada da mesa com uma fita levemente amortecedora.
(a) Qual a distância $$d$$, em $$\rm{cm}$$, percorrida pelo disco durante o intervalo de $$0$$ a $$3 \rm{s}$$ mostrado no gráfico?
(b) Determine o coeficiente de restituição da colisão com a beirada da mesa coberta com fita. Ele é definido por $$e = \dfrac{v_f}{v_i} $$ onde $$v_i$$ e $$v_f$$ são, respectivamente, as velocidades escalares imediatamente antes e depois da colisão com essa beirada.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Colisões
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Pela análise do gráfico, sabemos que o disco “vai e volta” 4 vezes, partindo de $$x = 0$$ até $$x = 80 \;\rm{cm}$$ e depois, voltando de $$x =80 \;\rm{cm}$$ até $$x = 0 \;\rm{cm}$$. Logo, a distância percorrida a cada ida e vinda é:
$$80+80 = 160 \;\rm{cm}$$
Como são 4 idas e vindas entre o intervalo $$0\;\rm{s}$$ a $$3\;\rm{s}$$, temos que a distância percorrida é:
$$d = 4 \cdot 160$$
$$\boxed{d = 640 \;\rm{cm}}$$
b) Para determinar o coeficiente de restituição, é necessário calcular a velocidade antes e depois da colisão. Primeiramente, deve-se notar que o lado que perde energia, ou seja, a borda onde está a fita, está em x = 0 (parte inferior do gráfico), já que o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico muda nesse ponto. Note também que, em x = 80 cm, o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico também muda, mas com o mesmo módulo (embora negativo). Isso significa que, em x = 80 cm, a velocidade é a mesma, mas seu sentido se inverte, enquanto que em x = 0, a velocidade muda e seu sentido também se inverte.
Como a velocidade é constante: $$v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$$, mas graficamente, $$v = \tan \theta$$, onde $$\theta$$ é o ângulo entre a trajetória(vermelho) e o eixo do tempo. Logo, pode-se afirmar que as velocidades são:
Entre $$t = 0\;\rm{s}$$ e $$t = 0,2\;\rm{s}$$: $$v_1 = \dfrac{80}{0,1}= 800 \;\rm{cm/s} = 8 \;\rm{m/s}$$
Entre $$t = 0,2\;\rm{s}$$ e $$t = 0,6\;\rm{s}$$: $$v_2 = \dfrac{80}{0,2}= 400 \;\rm{cm/s} = 4 \;\rm{m/s}$$
Entre $$t = 0,6\;\rm{s}$$ e $$t = 1,4\;\rm{s}$$: $$v_3 = \dfrac{80}{0,4}= 200 \;\rm{cm/s} = 2 \;\rm{m/s}$$
Entre $$t = 1,4\;\rm{s}$$ e $$t = 3,0\;\rm{s}$$: $$v_4 = \dfrac{80}{0,8}= 100 \;\rm{cm/s} = 1 \;\rm{m/s}$$
Logo, o coeficiente de restituição é $$e = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{v_3}{v_2} = \dfrac{v_4}{v_3} = 0,5$$
$$\boxed{e=0,5}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{d = 640 \;\rm{cm}}$$
b)
$$\boxed{e=0,5}$$
[/spoiler]
Questão 6
Considere um recipiente cilíndrico de raio $$R = 4,00 \;\rm{cm}$$ e altura $$H = 6,00 \;\rm{cm}$$, de paredes finas e massa $$m = 160 \;\rm{g}$$. Quando completamente vazio ele flutua em uma vasilha com água com a borda do recipiente a uma altura $$h$$ acima do nível de água, conforme mostra a figura ao lado.
(a) Qual a altura $$h$$, em $$\rm{cm}$$?
(b) Qual a máxima massa de água, em $$\rm{g}$$, pode ser adicionada ao recipiente de modo que ele continue flutuando?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Volume submerso pode ser escrito como:
$$V_s = \pi R^2(H-h)$$
Pelo equilíbrio de forças:
$$mg = \rho V_s g$$
$$h = H – m/\rho \pi R^2$$
Portanto:
$$\boxed{h = 2,67\;\rm{cm}}$$
(b) o máximo será quando $$h = 0$$, sendo M a massa máxima:
$$(M+m)g = \rho \pi R^2 H g$$
$$M = \rho \pi R^2 H – m$$
Portanto:
$$\boxed{M = 128\;\rm{g}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{h = 2,67\;\rm{cm}}$$
b)
$$\boxed{M = 128\;\rm{g}}$$
[/spoiler]
Questão 7
Uma curva de estrada é compensada quando o plano de rodagem se inclina em direção ao centro de curvatura de um ângulo $$\theta$$ em relação à horizontal. Na figura (fora de escala) o eixo vertical $$y$$ passa pelo centro da trajetória circular de raio $$R$$ executada pelo carro. Se $$\theta = 0^{\circ}$$ a curva não é compensada.
Um engenheiro está planejando uma estrada na qual o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento é $$\mu = 0,60 $$ e está considerando o caso em que carros trafegam com velocidade de módulo constante de $$v = 108 \;\rm{km/h}$$. Determine o menor valor de $$R$$, em $$\rm{m}$$, com o qual os carros fazem as curvas sem derrapar, nos casos:
(a) $$\theta = 0.$$
(b) $$\theta = 15^{\circ}.$$
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Dinâmica
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver esse problema, devemos entender qual a direção que o atrito aponta. Realizando o diagrama de forças no carro:
ou 
Obs: no diagrama de forças, a força centrípeta não deve ser representada idealmente, mas por motivos de didatica, ela foi incluida
Do diagrama, é possível perceber que existem 2 direções possíveis para força de atrito: para diagonal-cima ou para diagonal-baixo, como na figura. De modo simples, para que tenhamos o menor raio de curvatura, resultande centrípeta deverá ser máxima, afinal $$F_{cp} = \dfrac{mv^2}{R}$$, ou seja, a resultante centrípeta é inversamente proporcional ao raio de curvatura. Portanto, para que a resultante centrípeta seja máxima, e assim o raio de curvatura seja mínimo, o atrito deverá apontar para a direção diagonal-baixo. Então, o diagrama da direita será utilizado.
Pelos diagramas de forças no eixo y (vertical):
$$N \cos \theta = F_{at} \sin \theta + mg$$
No eixo x (horizontal):
$$N \sin \theta + F_{at} \cos \theta = F_{cp}$$
Rearranjando e aplicando a definição da $$F_{at}=\mu N$$ e $$F_{cp}=\dfrac{mv^2}{R}$$:
$$N(\cos \theta – \mu \sin \theta) = mg$$
$$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \dfrac{mv^2}{R}$$
Substituindo a força normal:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos \theta – \mu \sin \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$$
a) Para $$\theta=0$$:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 0 – \mu \sin 0}{\sin 0 + \mu \cos 0}$$
Substituindo os valores do enunciado, sendo $$v = 108 \;\rm{km/h} = 30 \;\rm{m/s}$$, $$g = 10,0 \;\rm{m/s^2}$$ e $$\mu = 0,60$$:
$$R=\dfrac{30^2}{10 \cdot 0,6}$$
$$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$$
b) Para $$\theta=15^{\circ}$$:
$$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 15^{\circ} – \mu \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} + \mu \cos 15^{\circ}}$$
$$R=\dfrac{30^2}{10} \dfrac{0,97 – 0,6 \cdot 0,26}{0,26 + 0,6 \cdot 0,97}$$
$$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$$
b)
$$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$$
[/spoiler]
Questão 8
A figura ao lado mostra um fio que passa por duas polias ideais e que é tensionado por dois blocos de massa $$M = 6,00 \;\rm{kg}$$ que estão presos às suas extremidades. O trecho horizontal do fio tem comprimento $$L = 0,90 \;\rm{m} $$ e o conjunto está em equilíbrio estático. O diâmetro do fio é $$0,40 \;\rm{mm}$$ e a densidade do aço é $$8000 \rm{kg/m^3}$$. Determine:
(a) A densidade linear de massa do fio, em $$\rm{g/m}$$.
(b) A menor frequência, em $$\rm{Hz}$$, da onda estacionária transversal que o trecho horizontal do fio pode apresentar.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ondulatória
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) A densidade linear é definida por:
\[\mu=\frac{\Delta m}{\Delta l}\]
Onde $$\Delta l$$ é o comprimento de um pedaço de fio e $$\Delta m$$ sua massa. Já a densidade volumétrica é definida por:
\[\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\Delta m}{A\Delta l}\]
Onde $$\Delta V$$ é o volume do pedaço de fio de massa $$\Delta m$$. A área $$A$$ é a de seção transversal do fio. Disso, obtemos:
\[\mu=\rho A\]
E substituindo numericamente $$A=\pi r^2$$:
\[\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}\]
(b) A menor frequência corresponde ao harmônico fundamental, isto é, $\lambda=2L$. A velocidade da onda é dada por:
\[v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\]
A tração vale $$Mg$$. Portanto:
\[f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{Mg}{\mu}}\]
\[\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
\[\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}\]
(b)
\[\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}\]
[/spoiler]
Questão 9
Fazendo uma trilha com sua bicicleta, um ciclista desce uma rampa com uma velocidade constante de $$6,0 \;\rm{m/s}$$. A figura abaixo à esquerda, na qual $$H = 9,00 \;\rm{m}$$ e $$L = 12,0 \;\rm{m}$$, mostra a rampa e a figura abaixo à direita mostra o sistema de freios a disco instalados nas duas rodas da bicicleta. Ao acionar o freio com a roda em movimento a peça A aplica uma força dissipativa de intensidade F no disco a uma distância média de $$R = 80 \;\rm{mm}$$ do eixo de rotação. Nesta bicicleta as rodas têm diâmetro de $$700 \;\rm{mm}$$, os discos são feitos de aço (calor específico de $$0,100 \;\rm{cal/g^{\circ}C}$$) e cada um tem uma massa de $$150 \;\rm{g}$$. Desconsidere a ação das demais forças dissipativas. A massa do conjunto ciclista-bicicleta é $$80 \;\rm{kg}$$.
(a) Considere que $$60%$$ da energia mecânica dissipada durante a descida seja convertida em calor transferido aos discos (os $$40%$$ restantes são transferidos para o ambiente, pelo vento, radiação, etc). Qual a variação da temperatura dos discos em $$^{\circ}\rm{C}$$?
(b) Considere que o freio á aplicado nas duas rodas de maneira uniforme em toda a descida. Qual a intensidade de $$F$$ em $$\rm{N}$$?
[spoiler title=’Assunto’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calor, trabalho e energia
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) A energia dissipada corresponde apenas à energia potencial perdida, já que a cinética permanece constante. Veja:
\[Q=MgH\]
Então, para aquecer os dois discos de massa $$150 \rm{g}$$ cada temos:
\[2mc\Delta T=0,6MgH\implies \Delta T=\frac{0,3MgH}{mc}\]
Resultando em:
\[\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}\]
(b) O responsável por dissipar energia nesse caso é o torque da força de resistência; O trabalho do torque é:
\[\Delta E=\tau\Delta\theta\]
A variação de energia é $$\Delta E=mgH$$. O $$\Delta\theta$$ é encontrado número de voltas dado pela roda, veja:
\[\Delta\theta=2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}\]
Igualando o trabalho do atrito à variação de energia, temos (o 2 vem devido o fato de existirem dois freios):
\[2FR\times 2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}=MgH\]
Encontramos portanto:
\[F=\frac{1}{4}\frac{MgHD}{R\sqrt{L^2+H^2}}\]
Numericamente:
\[\boxed{F = 1050\;\text{N}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}$$
b)
\[\boxed{F=1050\;\text{N}}\]
[/spoiler]
Questão 10
Um pequeno peixe se lança com velocidade $$\vec v_0$$ do alto da crista de uma onda em direção à crista da onda à frente, conforme mostra a figura. As ondas têm velocidade de $$3,00 \;\rm{m/s}$$ e frequência de $$2,00 \;\rm{Hz}$$. A velocidade $$\vec v_0$$ forma um ângulo $$\theta=15^{\circ}$$ com a horizontal. Considere apenas o movimento do centro de massa do peixe e despreze a resistência do ar.
(a) Qual a distância entre as cristas das ondas, em $$\rm{m}$$;
(b) Qual o módulo velocidade com que o peixe emerge da crista $$v_0$$, em $$\rm{m/s}$$?
[spoiler title=’Assunto’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ondulatória
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Pela relação fundamental da ondulatória, temos:
\[v=\lambda f\implies \boxed{\lambda=1,5\text{m}}\]
(b) Como o peixe pula em direção à outra crista seu alcance horizontal é o próprio $$\lambda$$ (pela definição). Então, temos que:
\[\lambda=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}\]
Então temos que:
\[v_0=\sqrt{\frac{\lambda g}{\sin(2\theta)}}\]
Portanto encontramos que:
$$v_0 = \sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}\;\rm{m/s} \approx 1,4\cdot 1,7\cdot 2,2\;\rm{m/s}$$
\[\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a)
\[\boxed{\lambda=1,5\text{m}}\]
(b)
\[\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}\]
[/spoiler]
Questão 11
Um proprietário rural cava uma cisterna em sua residência e utiliza uma bomba periférica para elevar a água coletada a uma altura de $$20 \;\rm{m}$$ em relação à superfície da água na cisterna. Para transportar a água ele usa uma mangueira cilíndrica de área de seção transversal $$3,00 \;\rm{cm^2}$$. O gráfico abaixo mostra como varia a pressão manométrica em função da vazão da água na saída da tubulação para diferentes modelos de bomba. O proprietário instalou o modelo
de bomba $$CV30$$.
(a) Qual a potência mínima da bomba, em $$\rm{W}$$?
(b) Qual a velocidade da água na mangueira, em $$\rm{m/s}$$?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Energia[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Pelo gráfico, é possível achar a vazão da bomba $$CV30$$ para uma altura de $$20$$ metros:
$$Q = 2000\;\rm{L/h}$$
A potência pode ser achada como a energia adicionada à água por segundo. Como a vazão é o volume por segundo, podemos achar a potencia por:
$$P = \rho g Q h$$
Em unidades do SI:
$$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$$
(b) A vazão pode ser calculada como o produto da velocidade vezes a área transversal, então:
$$v = Q/A$$
Portanto:
$$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$$
b)
$$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$$
[/spoiler]
Questão 12
Uma barra de $$200 \;\rm{g}$$ de uma substância à temperatura inicial $$T_i = 0 ^{\circ}C$$ é aquecida dentro de um recipiente que lhe transfere energia na forma de calor a uma taxa constante. A figura ao lado mostra a variação da temperatura da substância em função do tempo. Sabendo que ao final de $$18$$ minutos foram transferidas $$453,6\;\rm{kJ}$$, determine:
(a) O calor latente de fusão desta substância em $$\rm{cal/g}$$.
(b) A razão $$c_l/c_s$$ onde $$c_l$$ e $$c_s$$ são, respectivamente, os calores específicos desta substância nas
fases líquida e sólida.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calorimetria
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(a) Com a energia total (E) e o tempo total (t), podemos achar a potência transferida:
$$P = E/t = 420\;\rm{W}$$
Com isso, podemos pegar o tempo que demora a fusão para achar o calor latente:
$$P t_F = m L$$
$$L = P t_F/m$$
Portanto:
$$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$$
(b) Com o a variação de temperatura e o tempo em cada fase, podemos escrever que:
$$P = m c_l \Delta T_l / t_l = m c_s \Delta T_s / t_s$$
$$c_l /c_s = \Delta T_s t_l/ t_s \Delta T_l $$
Portanto:
$$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$$
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a)
$$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$$
b)
$$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$$
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