Escrito por Tiago Rocha, Davi Tsuchi, David Ferro, Eduardo Shashike, Eyke Torres, Gustavo Sabará, Maria Beatriz Ximenes, Mateus Barros e José Ulisses
Problema 1
Um corredor quer correr uma pista de $10\text{ km}$ em $40\text{ minutos}$.
(a) Qual deve ser sua velocidade média em $\text{km/h}$ para que isso seja possível?
(b) Se ele corre os primeiros $5\text{ km}$ numa velocidade de $12\text{ km/h}$, qual deve ser sua velocidade nos últimos $5\text{ km}$ para que ele consiga completar seu objetivo?
Cinemática
(a) Para encontrar a velocidade média em $\text{km/h}$, dividimos a distância total pelo tempo total em horas. O tempo total é de $40\text{ minutos}$, o que equivale a:
$$t = \frac{40}{60}\text{ h} = \frac{2}{3}\text{ h}$$
A velocidade média total é dada por:
$$v_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{10\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ h}} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15\text{ km/h}$$
(b) O tempo total disponível para completar o percurso é de $\frac{2}{3}\text{ h}$ (ou $40\text{ min}$).
Calculamos o tempo gasto nos primeiros $5\text{ km}$ com velocidade de $12\text{ km/h}$:
$$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_1} = \frac{5\text{ km}}{12\text{ km/h}} = \frac{5}{12}\text{ h}$$
Convertendo para minutos para facilitar:
$$t_1 = \frac{5}{12} \cdot 60\text{ min} = 25\text{ min}$$
Como o tempo total deve ser de $40\text{ min}$, o tempo restante para os últimos $5\text{ km}$ é:
$$t_2 = 40\text{ min} – 25\text{ min} = 15\text{ min} = \frac{15}{60}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h}$$
Assim, a velocidade nos últimos $5\text{ km}$ deve ser:
$$v_2 = \frac{\Delta S_2}{t_2} = \frac{5\text{ km}}{\frac{1}{4}\text{ h}} = 5 \cdot 4 = 20\text{ km/h}$$
(a) $15\text{ km/h}$
(b) $20\text{ km/h}$
Problema 2
Um grupo de estudantes se reúne em uma casa para fazer um trabalho sobre flutuação e cria uma brincadeira. Eles colocam tampas metálicas de potes de conserva, invertidas, para flutuar em uma vasilha com água. Dessa forma, cada tampa funciona como uma pequena barcaça, cuja cavidade serve de compartimento de carga.
A brincadeira consiste em determinar o número máximo de clipes que a “barcaça” consegue carregar sem afundar.
A tampa tem massa $M = 12,0\text{ g}$ e pode ser aproximada por um cilindro de paredes finas, com área da base $A = 42,0\text{ cm}^2$ e altura $h = 9,00\text{ mm}$. Cada clipe tem massa $m = 1,00\text{ g}$. Admita que a tampa está no limite de afundar quando sua borda atinge o nível da água. Determine o número máximo de clipes que a tampa pode carregar sem afundar.
Hidrostática
Para que o conjunto (tampa + clipes) não afunde, a força de empuxo máxima exercida pela água deve ser maior ou igual ao peso total do conjunto. A situação limite ocorre quando a tampa está totalmente submersa, prestes a afundar.
Primeiro, calculamos o volume total da tampa ($V$). Como ela é aproximada por um cilindro, transformamos a espessura para centímetros ($h = 9{,}0\text{ mm} = 0{,}90\text{ cm}$):
$$V = A \cdot h$$
$$V = 42 \cdot 0{,}90 = 37{,}8\text{ cm}^3$$
A força de empuxo máximo ($E_{max}$) é dada pelo peso do volume de água deslocado:
$$E_{max} = \rho_{a} \cdot V \cdot g$$
O peso total do conjunto ($P_{total}$) é a soma do peso da tampa e do peso de $n$ clipes:
$$P_{total} = (M + n \cdot m) \cdot g$$
Igualando a força de empuxo máximo ao peso total para encontrar a condição limite ($E_{max} = P_{total}$):
$$\rho_{a} \cdot V \cdot g = (M + n \cdot m) \cdot g$$
Podemos simplificar a gravidade ($g$) de ambos os lados:
$$\rho_{a} \cdot V = M + n \cdot m$$
Substituindo os valores conhecidos:
$$n = 25{,}8$$
Como a quantidade de clipes deve ser, obrigatoriamente, um número inteiro, não podemos colocar $25{,}8$ clipes. Se colocarmos $26$ clipes, a massa total passará do suportado e a tampa afundará. Portanto, o número máximo de clipes inteiros permitidos é o piso desse valor.
$$n_{max} = 25$$
25
Problema 3
Um barbante está enrolado em um carretel cujo cilindro central tem raio $r = 1{,}50\text{ cm}$. Inicialmente, o barbante está enrolado até atingir um raio externo $R = 4{,}50\text{ cm}$, como mostra a figura.
A extremidade livre do barbante é puxada horizontalmente com velocidade constante $v = 2{,}00\text{ m/s}$. Determine o número de voltas por minuto realizadas pelo carretel quando:
(a) o rolo de barbante começa a ser desenrolado;
(b) o rolo de barbante está prestes a acabar.
Matemática
Sabemos que o tamanho de um círculo de raio $r$ será $l = 2\pi r$, assim cada volta é equivalente a $2\pi r$ ser puxado. Desse modo se puxamos com velocidade $v$, estamos puxando $\frac{v}{2\pi r}$ voltas por unidade de tempo.
Sabemos que $v = 2\text{ m/s} = 120\text{ m/min}$, logo para o item a) temos:
$$\frac{120}{2 \pi \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-2}} = \frac{120 \cdot 10^2}{2 \cdot 3 \cdot 4{,}5} = \frac{120 \cdot 10^2}{27} \approx 444\text{ voltas por minuto}$$
Para o item b) é análogo, com:
$$\frac{v}{2\pi r} = \frac{120 \cdot 10^2}{9} \approx 133 \cdot 10$$
(a) $\approx 444$ voltas por minuto
(b) $\approx 133 \cdot 10$ voltas por minuto
Problema 4
Um estudante de massa $60{,}0\text{ kg}$ realiza uma corrida de $2{,}00\text{ km}$ em $12{,}0\text{ min}$. Seu professor de Educação Física estima que, durante a corrida, seu corpo utiliza $525\text{ kJ}$ de energia. Considere que cada passada do estudante tenha comprimento médio de $1{,}50\text{ m}$. Determine:
(a) a potência média, em watts, correspondente ao consumo de energia durante a corrida;
(b) a energia média, em joules, consumida por quilograma de massa corporal e por passada;
(c) de quanto aumentaria a potência média, em watts, se o estudante realizasse o mesmo treino carregando uma carga adicional de $5{,}00\text{ kg}$. Para essa estimativa, admita que o consumo de energia por quilograma e por passada permaneça o mesmo.
Dinâmica
(a) Precisamos lembrar que:
$$Potência = \frac{\tau}{t} \implies P = \frac{525 \cdot 10^3}{12 \cdot 60} \approx \boxed{729\text{ W}}$$
(b) Para isto, basta:
$$\frac{525 \cdot 10^3}{60 \cdot \frac{2000}{1{,}5}} \approx \boxed{6{,}56\text{ J/kg} \cdot \text{passos}}$$
(c)
Utilizando o consumo específico calculado no item (b) ($\epsilon = 6{,}5625\text{ J/(kg}\cdot\text{passada)}$), a energia adicional $\Delta E$ consumida devido à carga extra é:
$$\Delta E = \epsilon \cdot \Delta m \cdot N$$
$$\Delta E = 6{,}5625 \cdot 5{,}00 \cdot \left(\frac{2000}{1{,}50}\right) = 43.750\text{ J}$$
O aumento na potência média ($\Delta P$) corresponde à taxa de consumo dessa energia adicional no intervalo de tempo de corrida:
$$\Delta P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{43.750\text{ J}}{12 \cdot 60\text{ s}} = \frac{43.750}{720} \approx \boxed{60,8\text{ W}}$$
(a) 729 W
(b) 6,56 J/kg $\cdot$ passos
(c) 60,8 W
Problema 5
Um cometa descreve uma trajetória elíptica em torno do Sol, como ilustrado na figura. O ponto O é o centro da elipse, $F_1$ e $F_2$ são seus focos, e o centro do Sol coincide com $F_1$. A posição do cometa é indicada pelo ponto C, sendo $r_1$ e $r_2$ suas distâncias aos focos $F_1$ e $F_2$, respectivamente. Para uma trajetória elíptica:
$r_1+r_2=2a$;
$v_p r_p = v_a r_a$.
Nessas expressões, a é o comprimento do semieixo maior da elipse; $r_p$ e $v_p$ são, respectivamente, a distância ao Sol e a velocidade do cometa no periélio (o ponto mais próximo do Sol); $r_a$ e $v_a$ são as mesmas grandezas no afélio (o ponto mais distante do Sol).
Considere o caso hipotético em que $a=5,00\text{ UA}$ (Unidade Astronômica), o semieixo menor tem comprimento $b=3,00\text{ UA}$ e $v_p=40,0\text{ km/s}$. Determine:
(a) a maior distância, em UA, que o cometa pode atingir em relação ao Sol;
(b) a distância do cometa ao Sol, em UA, quando ele passa por uma das extremidades do eixo menor da trajetória;
(c) a velocidade do cometa, em km/s, no afélio.
Gravitação
Item a)
Os três elementos geométricos da elipse $a, b, c$ se relacionam por um teorema de Pitágoras no triângulo Centro-Foco-Extremidade do eixo menor, em vista que, como veremos em b), $r_b=a$:
$$a^2=b^2+c^2$$
$$c=\sqrt{a^2-b^2}= 4 \text{ UA}$$
A maior distância ao sol ocorre no afélio (extremidade do eixo maior mais distante do sol), pelo desenho, podemos ver que isso equivale a um semieixo maior e uma distância focal:
$$r_a=a+c= 9 \text{ UA}$$
Item b)
Note que, nesse momento, $r_1=r_2$, por simetria:
$$r_b=\frac{2a}{2}=a=5 \text{ UA}$$
Item c)
Sabemos que:
\[
r_p = a-c = 1 \text{UA}
\]
Pois $r_a+r_p= 2a$. Logo, aplicando a outra equação
$v_p r_p = v_a r_a$.
\[
v_a = \frac{1 \cdot 40}{9} = 4,44 \text{km/s}
\]
(a) 9 UA
(b) 5 UA
(c) 4,44 km/s
Problema 6
Um trem deseja chegar a um ponto $B$ partindo de um ponto $A$, sabendo que a distância de $A$ até $B$ é de $900\text{ m}$. Sabe-se que a maior aceleração possível do trem é $0{,}1\text{ m/s}^2$, e a maior desaceleração possível é $0{,}4\text{ m/s}^2$. Ache:
(a) o tempo mínimo de duração do trajeto;
(b) a velocidade máxima do trem.
Cinemática
Para que o tempo de viagem seja mínimo, o trem deve acelerar com a taxa máxima ($a_1 = 0{,}1\text{ m/s}^2$) até atingir uma velocidade máxima de pico $v_{max}$ e, imediatamente a partir desse ponto, passar a frear com a desaceleração máxima ($a_2 = 0{,}4\text{ m/s}^2$) até parar exatamente no ponto $B$.
Item (b)
Podemos usar a Equação de Torricelli para descrever os dois trechos do movimento.
Para a fase de aceleração:
$$v_{max}^2 = 0^2 + 2 \cdot a_1 \cdot \Delta s_1 \implies \Delta s_1 = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot 0{,}1}$$
Para a fase de desaceleração:
$$0^2 = v_{max}^2 – 2 \cdot a_2 \cdot \Delta s_2 \implies \Delta s_2 = \frac{v_{max}^2}{2 \cdot 0{,}4}$$
Sabemos que a distância total percorrida é $\Delta s = \Delta s_1 + \Delta s_2 = 900\text{ m}$. Substituindo as expressões encontradas:
$$\frac{v_{max}^2}{0{,}2} + \frac{v_{max}^2}{0{,}8} = 900$$
Logo:
$$v_{max} = 12\text{ m/s}$$
Item (a)
Agora, conhecendo a velocidade máxima alcançada, podemos calcular o tempo total.
$$t_1 = \frac{v_{max}}{a_1} = \frac{12}{0{,}1} = 120\text{ s}$$
$$t_2 = \frac{v_{max}}{a_2} = \frac{12}{0{,}4} = 30\text{ s}$$
O intervalo de tempo mínimo total será:
$$\Delta t_{min} = t_1 + t_2 = 120 + 30 = 150\text{ s}$$
(a) $150\text{ s}$
(b) $12\text{ m/s}$
Problema 7
Um ciclista e sua bicicleta, de massa total $m = 55{,}0\text{ kg}$, percorrem uma pista de mountain bike que apresenta uma lombada de raio $r$ seguida de uma depressão de mesmo raio, como mostra a figura, fora de escala.
Para suas estimativas, considere que o movimento ocorre em um mesmo plano e que o conjunto ciclista-bicicleta pode ser aproximado por uma partícula. Sabendo que $r = 20\text{ m}$ e que o ciclista mantém velocidade escalar constante $v = 43{,}2\text{ km/h}$, determine a intensidade da componente vertical da força que a pista exerce sobre o conjunto ciclista-bicicleta:
(a) no ponto mais alto da pista;
(b) no ponto mais baixo da pista.
Dinâmica
Primeiramente, convertemos a velocidade de $v = 43{,}2\text{ km/h}$ para o Sistema Internacional (m/s):
$$v = \frac{43{,}2}{3{,}6} = 12\text{ m/s}$$
Adotando $g = 10\text{ m/s}^2$, calculamos a força centrípeta:
$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{55 \cdot 12^2}{20} = \frac{55 \cdot 144}{20} = 396\text{ N}$$
E o peso do conjunto:
$$P = m \cdot g = 55 \cdot 10 = 550\text{ N}$$
(a) No pico:
No ponto mais alto da lombada convexa, a força resultante aponta para o centro (para baixo):
$$P – N = F_c \implies N = P – F_c$$
$$N = 550 – 396 = 154\text{ N}$$
(b) No poço:
No ponto mais baixo da lombada côncava, o centro da trajetória está para cima, logo a força resultante aponta para cima:
$$N – P = F_c \implies N = P + F_c$$
$$N = 550 + 396 = 946\text{ N}$$
(a) $154\text{ N}$
(b) $946\text{ N}$
Problema 8
Para acelerar o descongelamento de um ingrediente, um cozinheiro mergulha uma porção de carne congelada em um recipiente contendo água à temperatura ambiente. Considere que o calor necessário para descongelar uma porção de $500\text{ g}$ de carne seja equivalente ao necessário para fundir $500\text{ g}$ de gelo a $0\text{ }^\circ\text{C}$. Inicialmente, a carne está a $0\text{ }^\circ\text{C}$ e a água está a $25\text{ }^\circ\text{C}$. Admita que, durante o processo, as únicas trocas de calor ocorram entre a água e a carne, desprezando as trocas de calor com o recipiente e com o ambiente. Após o descongelamento, considere que a carne descongelada tenha o mesmo calor específico da água. Determine:
(a) o menor volume de água, em litros, necessário para descongelar completamente a carne;
(b) a temperatura de equilíbrio, em graus Celsius, caso sejam utilizados $2{,}00\text{ L}$ de água.
Calorimetria
Item (a)
Para que a carne descongele completamente com o menor volume de água possível, toda a energia térmica cedida pela água ao resfriar de $25\text{ }^\circ\text{C}$ até a temperatura final de equilíbrio térmico de $0\text{ }^\circ\text{C}$ deve ser suficiente para fornecer o calor latente de fusão da carne:
$$Q_{\text{cedido, água}} + Q_{\text{recebido, carne}} = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (0 -25) + m_{\text{carne}} \cdot L_f = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot 1 \cdot (-25) + 500 \cdot 80 = 0$$
$$25 \cdot m_{\text{água}} = 40.000 \implies m_{\text{água}} = 1.600\text{ g} = 1{,}60\text{ kg}$$
Como a densidade da água é $1\text{ kg/L}$:
$$V = 1{,}60\text{ L}$$
Item (b)
Para $V = 2{,}00\text{ L}$, temos $m_{\text{água}} = 2.000\text{ g}$. Como $2{,}00\text{ L} > 1{,}60\text{ L}$, a carne descongela completamente e a temperatura final de equilíbrio $T_{\text{eq}}$ será estritamente superior a $0\text{ }^\circ\text{C}$.
Balanço de energia:
$$Q_{\text{água}} + Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{aquecimento carne}} = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot c \cdot (T_{\text{eq}} – 25) + m_{\text{carne}} \cdot L_f + m_{\text{carne}} \cdot c \cdot (T_{\text{eq}} – 0) = 0$$
Substituindo os valores numéricos:
$$2000 \cdot 1 \cdot (T_{\text{eq}} – 25) + 500 \cdot 80 + 500 \cdot 1 \cdot (T_{\text{eq}} – 0) = 0$$
$$2000 \cdot T_{\text{eq}} – 50.000 + 40.000 + 500 \cdot T_{\text{eq}} = 0$$
$$2500 \cdot T_{\text{eq}} = 10.000$$
$$T_{\text{eq}} = \displaystyle \frac{10.000}{2500} = 4\text{ }^\circ\text{C}$$
(a) $V = 1{,}60\text{ L}$
(b) $T_{\text{eq}} = 4{,}00\text{ }^\circ\text{C}$